¿Existe alguna solución entera para x al cubo hasta y al cubo = z al cubo?

¿Existe alguna solución entera para x al cubo y al cubo = z al cubo?

No, esta es la teoría básica de la ley de Fermat

Alta Es imposible tener una solución entera a la tercera potencia

El método de solución incremental para la solución entera de la ecuación de Fermat X^n Y^n=Z^n

Zhuang Yan Zhuang Hongfei

(Liaoyang Railway Equipment Factory 111000)

Resumen La prueba de la relación solución entera de la ecuación de Fermat x^n y^n=z^n ha sido bastante controvertida en la comunidad matemática durante muchos años. Este artículo utiliza el método de geometría plana para analizar exhaustivamente las condiciones de existencia de la solución entera de la longitud del lado de un triángulo rectángulo a^2 b^2=c^2, y propone la aplicación de la evaluación incremental para expresiones algebraicas multivariadas. Este artículo proporciona la "regla de cálculo definida"; la "regla de cálculo de proporción creciente"; la "regla de fórmula de diferencia definida"; la "regla de secuencia par e impar" de la solución entera de la longitud del lado del triángulo rectángulo a^2 b^2. =c^2 ; es la condición algebraica y el método práctico para la solución de números enteros cuadrados; este artículo propone establecer los conceptos de fórmulas de potencias cuadradas absolutas y fórmulas de potencias absolutas no cuadradas de expresiones algebraicas unarias; relación creciente de la misma potencia cuadrada y la propiedad de la fórmula de diferencia del término creciente de la potencia entera, el problema original de determinar la solución entera de la ecuación tridimensional indefinida de alto orden de la ecuación de Fermat x^n y^n =z^n se transforma hábilmente en el problema de la solución definida de la ecuación de una variable.

Palabras clave: método de solución de elementos crecientes, fórmula de potencia cuadrática absoluta, fórmula de potencia absolutamente no cuadrada, fórmula de diferencia de términos crecientes de números enteros adyacentes

Introducción: En 1621, el matemático francés Fermat (Fermat) Al leer el libro Aritmética escrito por el antiguo matemático griego Diofantna, propuso la ecuación x^n y^n=z^n basada en la relación entera entre los tres lados del triángulo rectángulo mencionado en el libro. muchos conjuntos de soluciones enteras cuando n=2, y nunca hay una solución entera cuando n>2. Y afirmó que había realizado una prueba maravillosa en ese momento. Éste es el problema incomparable conocido como último teorema de Fermat. A día de hoy, la respuesta a esta pregunta sigue siendo complicada, larga, controvertida y confusa.

Este artículo utiliza la relación entre las longitudes de los lados y las áreas de triángulos rectángulos y cuadrados para establecer un nuevo método teórico y práctico intuitivo y conciso para la solución de números enteros cuadrados de la ecuación de Fermat. Este artículo utiliza el teorema del aumento. razones de potencias del mismo cuadrado a La relación de solución entera de la ecuación de Fermat x^n y^n=z^n cuando el exponente n>2 se analiza y demuestra, y la maravillosa prueba de Fermat de ese año se reproduce utilizando métodos algebraicos.

Definición 1. Ecuación de Fermat

La gente está acostumbrada a llamar a la relación x^n y^n=z^n ecuación de Fermat. Su significado más profundo significa: después de determinar el valor del índice n, es x, y, z. Todos son números enteros.

En las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, a menudo se encuentra que a, b y c son todos números enteros, como en el triángulo rectángulo 3, 4 y 5. En este caso , el teorema de Pitágoras se puede utilizar para obtener 3^2 4^2 =5^2, por lo que cuando la potencia es 2, la ecuación de Fermat es del mismo orden que el teorema de Pitágoras. Cuando el exponente es mayor que 2, el estudio de las soluciones enteras de la ecuación de Fermat se ha convertido en una gran rama de las matemáticas desde Euler hasta Dirichlet.

Definición 2. Método de solución de elementos agregados

En el cálculo de evaluación de expresiones algebraicas multivariadas, se introducen elementos desconocidos distintos de los elementos de cálculo originales para formar una relación de ecuación y participar en la operación de evaluación. Al método de evaluación de expresiones algebraicas multivariadas mediante la adición de elementos desconocidos lo llamamos método de solución de elementos añadidos.

Usar el método de solución incremental para evaluar expresiones algebraicas multivariadas a veces puede hacer que problemas muy complejos sean extremadamente simples.

A continuación, usaremos el método de solución de elementos incrementales para evaluar la relación de solución de números enteros de los tres lados de un triángulo rectángulo a^2 b^2=c^2.

1. "Regla de cálculo de a definida" para la solución entera de la longitud del lado de un triángulo rectángulo a^2 b^2=c^2

Teorema 1. Por ejemplo, a, byc son los tres lados de un triángulo rectángulo respectivamente, Q es un término creciente y Q≥1, que satisface la condición:

a≥3

{ b=(a ^2-Q^2)÷2Q

c= Q b

En este momento, a^2 b^2=c^2 es un solución entera;

Prueba: En la relación del área cuadrada, el área obtenida de la longitud del lado a es a^2, si (a^2-Q^2)÷2Q=b (donde Q es un término creciente, y b y Q son números enteros), el área a^2 se puede descomponer en a^2=Q^2 Qb Qb, y el gráfico se puede obtener después de recombinar la relación de descomposición de acuerdo con la siguiente relación:

Q2 Qb

El espacio es exactamente un cuadrado con longitud de lado b. Después de llenar el área del espacio b^2, podemos obtener un cuadrado con una longitud de lado

Qb

Q b. Ahora tomamos Q b = c según la cuerda pitagórica de la derecha. Teorema de la relación de longitud de los lados del triángulo La condición a^2 b^2=c^2 muestra que en este momento a, b, c son las longitudes de los tres lados enteros del triángulo rectángulo.

Así se demuestra el Teorema 1

Ejemplo de aplicación:

Ejemplo 1. Utilice la regla de cálculo de a fija para encontrar la solución entera cuadrada de la longitud del lado de un triángulo rectángulo cuando el lado a es 15.

Solución: tome un ejemplo de aplicación: a es 15, elija el término incremental Q. para ser 1, y use la regla de cálculo de a fijo Obtener:

a= 15

{ b=（a^- Q^2）÷2Q=（15^2- 1^2）÷2 =112

c=Q b=1 112=113

Así que obtenemos la solución del entero cuadrado 15^2 112^2=113^2

Luego toma a como 15 y elige el incremento. El término Q es 3, el cual se obtiene según la regla de cálculo de a:

a= 15

{ b =（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3 ^2)÷6=36

c=Q b=3 36=39

Entonces obtenemos la solución del entero cuadrado 15^2 36^2=39^2

Definir la regla de cálculo de a Cuando a=3, 4, 5, 6, 7..., a través de diferentes valores ​​de Q, la función cubrirá todas las soluciones de enteros cuadrados.

2. La solución entera de la longitud del lado de un triángulo rectángulo a^2 b^2=c^2 "regla de cálculo de razón creciente"

Teorema 2. Por ejemplo, a^2 b^2=c^2 es un conjunto de soluciones enteras para las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, entonces (an)^2 (bn)^2 = (cn)^2 (donde n=1 , 2, 3... ) son todas soluciones enteras.

Demostración: Según el teorema de Pitágoras, si a^2 b^2=c^2 es una solución entera, se obtendrá un triángulo rectángulo a c con longitudes de lados de números enteros. amplificación de segmentos planos, el triángulo se agranda para obtener 2a 2c;

b 2b

3a 3c;... A partir de la condición de que a, b, c sean números enteros. , se puede ver que 2a, 2b, 2c;

3b 4b

3a, 3b, 3c; 4a, 4b, 4c... na, nb, nc son todos números enteros. .

Así se demuestra el Teorema 2

Ejemplo de aplicación:

Ejemplo 2. ¿Demostrar que 303^2 404^2=505^2 es una solución entera?

Solución; Del triángulo rectángulo 3 5, obtenemos 3^2 4^2=5^2 que es una solución entera según la proporción creciente

4

El algoritmo es: cuando se utiliza la relación de 3×101 5×101 de un triángulo rectángulo como longitud del lado, debe haber

4×101

303 ^2 404^2=505^2 que es una solución entera.

3. La solución entera de la longitud del lado del triángulo rectángulo a^2 b^2=c^2 "regla de la fórmula de diferencia definida"

3a 2c n = a1

(Aquí n=la diferencia entre b-a, n=1, 2, 3...)

Teorema 3. Si el triángulo rectángulo a^2 ^b2=c^2 es una solución entera que satisface la relación b-a=n, entonces la matriz cuadrada ai^ compuesta por a1, a2, a3...ai se obtiene usando el 3a 2c n anterior. = a1 fórmula 2 bi^2=ci^2 son todas soluciones enteras con la relación de diferencia definida de b-a=n.

Demostración: Tomando n como 1, de los tres lados 3, 4 y 5 del triángulo rectángulo, obtenemos 3^2 4^2=5^2, donde n=b-a=4-3 =1, según 3a 2c 1= a1 las reglas de la fórmula de diferencia fija son:

a1=3×3 2×5 1=20 Entonces obtenemos

20^2 21^2 =29^2 Continuar usando la fórmula Calculado:

a2=3×20 2×29 1=119 Luego obtenemos

119^2 120^2=169^2 Continuar usar la fórmula para calcular

a3=3×119 2×169 1=696 Entonces obtenemos

696^2 697^2=985^2

…

Entonces se establece la relación entre la diferencia definida de 1

Ahora tomamos n como 7, tenemos un triángulo rectángulo 21^2 28^2=35^2, donde n=28-21=7, determinado según 3a 2c 7 = a1 Las reglas de la fórmula de diferencia son:

a1=3×21 2×35 7=140 Luego obtenemos

140^2 147^2=203^2 Continúe usando la fórmula para calcular:

a2=3×140 2×203 7=833 Luego obtenemos

833^2 840 ^2=1183^2 Continúe usando la fórmula para calcular:

a3=3×833 2×1183 7=4872 Luego obtenemos

4872^2 4879^2=6895 ^2

…

Entonces la diferencia definitiva es que se establece la relación 7

Si n es 129, tenemos un triángulo rectángulo 387^2 516^2= 645^2, aquí n=516-387=129, de acuerdo con la regla de la fórmula de diferencia definida 3a 2c 129= a1 Hay:

a1=3×387 2×645 129=2580 Entonces obtenemos

2580^2 2709^2=3741^2 Continúe usando la fórmula para calcular:

a2=3×2580 2×3741 129=15351 Luego obtenemos

15351^2 15480^2=21801^2 Continúe usando la fórmula para calcular:

a3=3 ×15351 2×21801 129=89784 Luego obtenemos

89784^2 89913^2=127065^2

…

Por lo tanto, se establece la relación entre la diferencia definida y 129

Entonces la regla de cálculo para la diferencia definida n. se establece

Entonces se demuestra el Teorema 3

Cuarto, el valor de a de la solución del entero cuadrado a^2 ^b2=c^2 Teorema 4. Reglas de secuencia par e impar:

Teorema 4. Si a^2 ^b2=c^2 son las longitudes de los tres lados enteros de un triángulo rectángulo, entonces se debe establecer la siguiente relación entre las columnas pares e impares de un valor

(1) Impar; columna a:

Si la tabla a es un número impar de tipo 2n 1 (n=1, 2, 3...), entonces la relación entre a y la solución entera cuadrada de la columna impar es :

a=2n 1

a=2n 1

{ c=n^2 (n 1)^2

b=c-1

Prueba: De las condiciones de esta expresión, tome n=1, 2 y 3 respectivamente… obtenga:

3^2 4^2=5 ^2

5^2 12^2=13^2

7^2 24^ 2=25^2

9^2 40^2= 41^2

11^2 60^2=61^2

13^2 84 ^2=85^2

…

Por lo tanto, se establece la relación de la columna a con número impar

(2) Columna a con número par:

Si una tabla es

2n es un número par de tipo 2 (n=1, 2, 3...), entonces a es un número par La relación de la solución del entero cuadrado es:

a=2n 2

a=2n 2

{ c=1 ( n 1)^2

b=c-2

Prueba: A partir de las condiciones de esta expresión, cuando n=1, 2, Se toman 3... respectivamente, obtenemos:

4 ^2 3^2=5^2

6^2 8^2=10^2

8^2 15^2=17^2

10^2 24^2=26^2

12^2 35^2=37^2

14^2 48^2=50^2

>…

Entonces la relación a en la secuencia de números pares se cumple

Entonces la relación en el teorema 4 se tiene

Se deduce que en el triángulo rectángulo a, b, c:

La diferencia entre b-a puede ser 1, 2, 3...

La diferencia entre a-b puede ser 1, 2, 3...

La diferencia entre c-a puede ser 1, 2, 3...

La diferencia entre c-b puede ser 1, 2, 3...

Hay infinitos tipos de soluciones enteras cuadradas para diferencias definidas

Cada diferencia definida Hay infinitas soluciones enteras para la diferencia al cuadrado;

Arriba, hemos dado las condiciones algebraicas y los métodos prácticos de soluciones de enteros cuadrados. También podemos demostrar algebraicamente que la ecuación de Fermat x^n y^n=z^n no tiene solución entera cuando el exponente n>2. La prueba es la siguiente:

Primero demostramos que la regla de cálculo de la razón creciente es válida para cualquier potencia.

Teorema 5, si a, b, c son todos números enteros diferentes mayores que 0 y m es un número entero mayor que 1, si hay a^m b^m=c^m d^m e^m el Se establece la misma relación de poder, luego de que a, b, c, d, e aumentan en proporción, la misma relación de poder al cuadrado aún se mantiene.

Demostración: en la fórmula original del teorema a^m b^m=c^m d^m e^m, tomamos la relación de aumento como n, n>1,

Obtenemos : (n a) ^m (nb)^m= (nc)^m (nd)^m (ne)^m

La fórmula original es: n^m (a^m b^m)= n^m ( c^m d^m e^m)

Después de eliminar n^m en ambos lados, se obtiene la fórmula original.

Por lo tanto, existe una regla de cálculo de relación creciente entre la misma potencia y la fórmula de diferencia. Después del aumento, sigue siendo la misma potencia.

Entonces se demuestra el Teorema 5

Teorema 6, si a, b, c son números enteros diferentes y se cumple la relación a^m b=c^m, donde b>1, b es no Las potencias del mismo cuadrado de a y c. Cuando a, b y c aumentan año tras año, b todavía no es la potencia del mismo cuadrado de a y c.

Demostración: tome la fórmula original del teorema a^m b=c^m

Establezca la relación de aumento como n, n>1 y obtenga: (na)^m n^ mb= (nc) ^m

La fórmula original se convierte en: n^m（a^m b）=n^mc^m

Después de eliminar n^m en ambos lados, el Se obtiene la fórmula original.

Dado que b no se puede convertir en la misma potencia de a y c, n^mb no se puede convertir en la misma potencia de a y c.

Entonces, si los términos entre la misma potencia y la ecuación en diferencias contienen términos que no son la misma potencia, la relación de igualdad aún se mantiene después de la misma relación de aumento. Entre ellos, los términos con la misma potencia siguen teniendo la misma potencia después de aumentar la relación, y los términos que no tienen la misma potencia siguen siendo números sin potencia después de aumentar la relación.

Así se demuestra el teorema 6

Las propiedades de potencia absoluta y no potencia absoluta de expresiones algebraicas unarias

Definición 3, expresión de potencia absoluta de una determinada potencia

En una expresión algebraica que contiene una incógnita de una variable, si el valor de la incógnita son todos números enteros mayores que 0, los valores de la expresión algebraica son todos ciertos poderes perfectos. A la expresión algebraica la llamamos en. Esta vez un poder absolutamente cierto.

Por ejemplo: n^2 2n 1, n^2 4n 4,

n^2 6n 9,... son todas potencias absolutas de 2 y n^3 3n^2 3n 1, n^; 3 6n^2 12n 8,... son todas fórmulas absolutas de tercera potencia.

La forma general de la potencia absoluta unaria de una determinada potencia es el término de expansión de (n b)^m (m>1, b es un término constante).

Definición 4, definitivamente no es una fórmula de potencia de cierta potencia

En una expresión algebraica que contiene una incógnita de una variable, si el valor de la incógnita son todos los números enteros mayores que 0, el valor de la expresión algebraica no es una determinada potencia. Segundo número de potencia perfecto, en este momento llamamos a la expresión algebraica una expresión absoluta sin potencia de una determinada potencia. Por ejemplo: n^2 1, n^2 2, n^2 2n,... son todas fórmulas de potencia absolutamente no cuadradas y n^3 1, n^3 3n^2 1, n^3 3n 1, 3n ^2 3n 1, n^3 6n^2 8... son todas potencias absolutamente no cúbicas.

Cuando el número de términos de una expresión algebraica univariante es muy pequeño, podemos determinar fácilmente si la expresión algebraica definitivamente no es una potencia de una determinada potencia. Por ejemplo, n^2 n definitivamente no es una potencia. potencia de 2, y n^7 n definitivamente no es una potencia de séptima potencia, pero cuando hay muchos términos en la expresión algebraica, las condiciones para obtener una fórmula que definitivamente no es una potencia de cierta potencia serán más y más estricto.

La forma general de una expresión univariante absoluta no potenciada de cierto grado es: restar uno de los términos del término de expansión de (n b)^m (m>2, b es un término constante) .

Razonamiento: Una expresión algebraica de potencias que no es una expresión de potencia absoluta m-ésima o una expresión de potencia absoluta no m-ésima debe producir un número de potencia m-ésima completo cuando la incógnita toma un valor determinado. Por ejemplo: 3n^2 4n 1 no es una fórmula absoluta de potencias distintas de 3. Cuando n=1, 3n^2 4n 1=8=2^3, 3n^2 3n 1 no es una fórmula absoluta de potencias distintas de 2. Cuando n =7, 3n^2 3n 1=169=13^2;

Razonamiento: una expresión algebraica de una variable sin un término de potencia no es exclusiva de ninguna potencia. 2n 1=9=3^2, 2n 1=49=7^2... 4n 4=64=8^2, 4n 4=256=16^2... 2n 1=27=3^3, 2n 1= 125=5^3…

Demostración: Existen mésimas fórmulas de potencias absolutas no cuadradas en expresiones algebraicas unarias

En expresiones algebraicas unarias, diferentes valores de las incógnitas; conducirá a diferentes expresiones algebraicas Calcula el resultado. La correspondencia entre los números desconocidos y los resultados de los cálculos del álgebra es única, la ecuación es reversible y es una relación de solución definida pura. Este es el axioma algebraico de la expresión algebraica de una variable. Es decir, la expresión algebraica se puede evaluar sustituyendo el valor numérico desconocido y el número desconocido se puede evaluar a la inversa con el valor numérico dado de la expresión algebraica. Utilizando estas propiedades de las expresiones algebraicas unarias, podemos realizar una clasificación par-impar, clasificación de restos y clasificación de potencia de números enteros.

Cuando el término constante es 1, la forma fija de la expresión de 4 términos de la expresión algebraica unaria cúbica perfecta es (n 1)^3=n^3 3n^2 3n 1, que es * * *Se compone de 4 elementos de un solo término, incluidos 2 términos de potencia. Si alguno de los 3 términos desconocidos en esta fórmula algebraica se cambia o falta, la fórmula algebraica no puede obtener un número cúbico perfecto. Bajo la premisa de retener los términos constantes, si bloqueamos tres de ellos, podemos obtener tres expresiones algebraicas unarias diferentes que deben contener términos de potencia cuadrática, n^3 3n^2 1, n^3 3n 1, 3n^2 3n 1. Para estas tres expresiones algebraicas, solo hay una solución para hacer que el valor de la expresión algebraica se convierta en un número cúbico, que es completar el valor faltante del cuarto término, y este término faltante no se puede tomar, ni tampoco se pueden tomar otros Se tomarán valores. Debido a que estas expresiones algebraicas forman una relación algebraica fija de diferencia definida de un solo término con la expresión algebraica cúbica original, la existencia de esta relación algebraica no tiene nada que ver con el valor de la incógnita.

Esta relación es:

(n 1)^3-3n= n^3 3n^2 1

(n 1)^3-3n^2= n^3 3n 1

(n 1)^3-n^3=3n^2 3n 1

Así que obtenemos: al tomar n=1, 2, 3, 4, 5...

p>

n^3 3n^2 1≠（n 1）^3

n^3 3n 1≠（n 1）^3

3n2 3n 1≠（ n 1)^^3

Es decir, los valores de estas tres expresiones algebraicas no pueden ser iguales a (n 1)^3 números cúbicos perfectos.

Cuando n=1, 2, 3, 4, 5..., el valor de (n 1)^3=n^3 3n^2 3n 1 es el cubo de todos los números enteros a partir de 2 , El único número entero menor que 2 es 1, 1^3=1 Cuando n=1,

n^3 3n^2 1=5≠1

n^3 3n. 1=5≠1

3n^2 3n 1=7≠1

Entonces obtenemos: Cuando n=1, 2, 3, 4, 5..., el método algebraico fórmula n^ 3 3n^2 1, n^3 3n 1, 3n^2 3n 1 El valor no es igual al cubo de todos los números enteros. Estas expresiones algebraicas son expresiones cúbicas absolutas sin potencia.

Mediante el método anterior, podemos demostrar la fórmula algebraica unaria: n^4 4n^3 6n^2 1, n^4 4n^3 4n 1, n^4 6n^2 4n 1, 4n ^3 6n^ 2 4n 1, el valor cuando n=1, 2, 3, 4, 5... nunca es un número perfecto de cuarta potencia. Estas expresiones algebraicas son expresiones absolutas no potenciadas de cuarto grado.

Se puede demostrar que los términos de expansión de expresiones algebraicas unarias (n ​​1) ^ m con potencias superiores a 5 veces se pueden obtener bloqueando m términos cualquiera bajo la premisa de retener m términos constantes. Se pueden obtener expresiones algebraicas unarias. Los valores de estas m expresiones algebraicas unarias diferentes cuando n = 1, 2, 3, 4, 5... nunca son completamente m-ésima potencia. Estas expresiones algebraicas son m-ésimas expresiones de potencias absolutas no cuadradas.

Ahora usamos métodos algebraicos para dar la fórmula de la diferencia entre los términos crecientes en potencias de dos enteros adyacentes n y n 1

Cuando se elevan a la segunda potencia: (n 1; )^2 -n^2

=n^2 2n 1-n^2

=2n 1

Entonces, el incremento del número cuadrado de enteros adyacentes a la potencia de 2 La fórmula de diferencia es 2n 1.

Dado que 2n 1 no contiene una relación de potencia, y las potencias de todos los números impares se pueden expresar como 2n 1, cuando 2n 1 es un número cuadrado perfecto, debe haber n^2 (2√2n 1 )^2=(n 1)^2 es la relación de solución de entero cuadrado de z-x=1. Aplicando la regla de cálculo de razón creciente, podemos obtener los enteros cuadrados de z-x=2, z-x=3, z-x=4, z-x=. 5... Resuelve la relación. Sin embargo, las soluciones de enteros cuadrados de xyz coprimo para z-x>1 no se pueden obtener mediante la regla de la proporción creciente. El método para obtener estas soluciones de enteros cuadrados es:

De (n 2)^2-n^2. =4n Cuando 4 es un número cuadrado perfecto, podemos obtener todas las soluciones enteras cuadradas de z-x=2 y luego aumentar la proporción

De (n 3)^2-n^2=6n Cuando 9; es un número cuadrado perfecto, podemos obtener todos los enteros cuadrados de z-x =3 la solución aumenta la proporción

Cuando (n 4)^2-n^2=8n 16 es un número cuadrado perfecto, obtenemos todos; Relación de aumento de la solución de enteros cuadrados de z-x=4;

...

Esta relación creciente de términos constantes es adecuada para todos los números enteros cuando n=1, 2, 3..., Podemos obtener todas las soluciones de enteros cuadrados en números enteros.

Entonces la ecuación de Fermat x^n y^n=z^n se cumple cuando el exponente es 2.

Al mismo tiempo, dado que las potencias de todos los números impares se pueden expresar como 2n 1 y las potencias de algunos números pares se pueden expresar como 4n 4, 6n 9, 8n 16... Por lo tanto, hay también debe ser x^2 y La relación de solución entera ^n=z^2 se mantiene.

Cuando se eleva a la tercera potencia: (n 1)^3-n^3

=n^3 3n^2 3n 1-n^3

=3n^2 3n 1

Entonces, la fórmula para la diferencia incremental entre números cúbicos de enteros adyacentes a la tercera potencia es 3n^2 3n 1.

Dado que 3n^2 3n 1 es la fórmula del término faltante de (n 1)^3, todavía contiene una relación de potencia y es una fórmula de potencia absoluta no cuadrada de tercer orden. Por lo tanto, cuando n es cualquier número entero, el valor de 3n^2 3n 1 no es un número cúbico perfecto, por lo que no hay n^3 (3√3n^2 3n 1)^3= (n 1)^3 o z-x. = 1 entre números enteros La relación de solución de enteros cúbicos se puede ver a partir de la regla de cálculo de razón creciente, y no existe una relación de solución de enteros cúbicos para z-x=2, z-x=3, z-x=4, z-x=5... Sin embargo, la ecuación de Fermat de xyz coprimo con z-x>1 no se puede expresar mediante la regla de la proporción creciente. El método para expresar estas ecuaciones cúbicas de Fermat es:

Por (n 2)^3-n^3=. 6n2 12n 8, entonces, n es cualquier número entero y su valor no es un número cúbico perfecto

De (n 3)^3-n^3=9n2 27n 27, entonces, n es cualquier número entero y su valor Los valores no son números cúbicos perfectos

De (n 4)^3-n^3=12n2 48n 64, entonces, si n es cualquier número entero, su valor no es un cúbico perfecto; número;

...

Esta relación creciente de términos constantes es adecuada para todos los números enteros. Cuando n=1, 2, 3..., la relación cúbica de la ecuación de Fermat será. cubrir todos los números enteros después de aumentar.

Entonces la ecuación de Fermat x^n y^n=z^n no tiene solución entera cuando el exponente es 3.

La cuarta potencia siempre está presente; (n 1)^4-n^4

=n^4 4n^3 6n^2 4n 1-n^4

=4n^3 6n^2 4n 1

Entonces, la fórmula para la diferencia incremental entre la 4ta potencia y la 4ta potencia de enteros adyacentes es 4n^3 6n^2 4n 1.

Dado que 4n^3 6n^2 4n 1 es la fórmula del término faltante de (n 1)^4, todavía contiene una relación de potencia y es una fórmula de potencia absoluta no cuadrada de cuarto grado. Por lo tanto, cuando n es cualquier número entero, el valor de 4n^3 6n^2 4n 1 no es un número perfecto a cuarta potencia, por lo que no hay n^4 (4√4n3 6n2 4n 1)^4= (n 1)^ 4 entre números enteros, es decir, la relación de solución de un entero de cuarta potencia de z-x = 1. A partir de la regla de cálculo de la proporción creciente se puede ver que no existe una relación de solución de un entero de cuarta potencia de z-x = 2, z-x = 3, z-x = 4. z-x=5... Sin embargo, la ecuación de Fermat de xyz coprimo para z-x>1 no se puede expresar mediante la regla de la proporción creciente. El método para expresar estas ecuaciones de Fermat de cuarta potencia es:

Por (n 1)^4-n^ 4. =8n3 24n2 32n 16, entonces, n es cualquier número entero y su valor no es un número perfecto a cuarta potencia

De (n 1)^4-n^4=12n3 54n2 108n 81, entonces, n; es cualquier número entero y su valor no es una cuarta potencia perfecta

De (n 1)^4-n^4=16n3 96n2 256n 256, por lo tanto, n es cualquier número entero y su valor no es una cuarta potencia completa; número de potencia;

...

Esta relación creciente de términos constantes es adecuada para todos los números enteros Cuando n=1, 2, 3..., ecuación de Fermat 4 La relación de potencia. cubrirá todos los números enteros después de ser multiplicados.

Entonces la ecuación de Fermat x^n y^n=z^n no tiene solución entera cuando el exponente es 4.

Cuando se eleva a la mésima potencia, la fórmula para la diferencia incremental entre potencias adyacentes de números enteros es:

(n 1)^m-n^m

= n ^m mn^m-1 … … mn 1-n^m

=mn^m-1 … … mn 1

Entonces, la potencia m-ésima de los enteros adyacentes m-ésima La fórmula de diferencia incremental es mn^m-1 ... ... mn 1.

Dado que mn^m-1 ... ... mn 1 es la fórmula del término faltante de (n 1)^m, todavía contiene una relación de potencia y es una fórmula de potencia absoluta no cuadrada de grado m. Por lo tanto, cuando n es cualquier número entero, el valor de mn^m-1... mn 1 no es una m-ésima potencia perfecta, por lo que no hay n^m (m√mn^m-1... mn 1 )^m = entre enteros. (n 1) ^m es la relación de solución de enteros de potencia m de z-x=1. De acuerdo con la regla de cálculo de la relación creciente, no existe un entero de potencia m-ésimo de z-x=2, z-x=. 3, z-x=4, z-x=5... Resuelve la relación. Sin embargo, la ecuación de Fermat de xyz coprimo para z-x>1 no se puede expresar mediante la regla de razón creciente. El método para expresar estas ecuaciones de Fermat de m-ésima potencia es:

Por (n 2)^m-n^m. = 2mn^m-1 … … 2^m-1 mn 2^m, por lo tanto, n es cualquier número entero y su valor no es un número m-ésimo perfecto

Por (n 3)^; m-n^m =3mn^m-1 … … 3^m-1 mn 3^m, por lo tanto, n es cualquier número entero y su valor no es un número m-ésimo perfecto

Por (n; 4)^m-n^ m=4mn^m-1 … … 4^m-1 mn 4^m, por lo tanto, n es cualquier número entero y su valor no es un número m-ésimo perfecto; ……

Esta relación creciente de términos constantes es adecuada para todos los números enteros. Cuando n=1, 2, 3..., la relación de potencia m-ésima de la ecuación de Fermat cubrirá todos los números enteros después de aumentar.

Entonces la ecuación de Fermat x^n y^n=z^n no tiene solución entera cuando el exponente es m.

Entonces la ecuación de Fermat x^n y^n=z^n nunca tiene una solución entera cuando el exponente n>2.

Así pues, el problema del último teorema de Fermat, que se ha prolongado durante más de 300 años, es también un problema de matemáticas elementales

como el problema de la conjetura de Goldbach.

Respuesta: Danhe de Wangyi - Mago en prácticas Nivel 2 8-5 13:57

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Solo demuestra que x^4 y^4 = z^4 y x^p y^p = z^p (P es un número primo impar) no tienen soluciones enteras

Respuesta: lshhy - Nivel de mago avanzado 6 8 -4 17:14

Hay muchas personas en la historia que han logrado pocos resultados en su trabajo principal, pero han logrado grandes logros en su tiempo libre después de las comidas. Fermat es un ejemplo típico. Hoy en día, la gente menciona a Pierre de Fermat (1601-1665) no principalmente porque fuera un político o un juez, sino porque era un excelente matemático aficionado. Fermat realizó investigaciones y logró algunos logros en muchos campos de las matemáticas, pero lo que realmente lo hizo famoso fue la conjetura conocida como "El último teorema de Fermat" por las generaciones posteriores.

La expresión del último teorema de Fermat es sencilla: para números enteros positivos, es imposible escribir una potencia mayor que 2 como suma de dos potencias de la misma potencia. En otras palabras, en la ecuación Xn+Yn=Zn, cuando n>2, no hay una solución entera positiva. En el margen de un libro, Fermat escribió: Tengo una prueba muy hermosa de esta proposición, y el espacio aquí es demasiado pequeño para caber en ella.

Desde entonces, innumerables sabios, entre ellos los grandes matemáticos Euler y Cauchy, han trabajado duro en esto, aunque cada vez pueden dar un pequeño paso adelante, no han podido demostrar finalmente esa cuota matemática. Teorema. Durante los últimos 300 años, muchas personas han afirmado haber encontrado una solución a este problema, pero cada vez han sido revocadas. Desde la perspectiva del último teorema de Fermat, demostrarlo no significa mucho para el desarrollo de las matemáticas. Pero, por un lado, esto es un desafío a la sabiduría; por otro, los matemáticos han obtenido muchos beneficios inesperados del proceso de demostración del último teorema de Fermat, y algunas nuevas ramas y métodos de las matemáticas han surgido de su estudio. . Por tanto, la demostración del último teorema de Fermat siempre ha atraído la atención de la gente.

También hay muchos pequeños episodios sobre el último teorema de Fermat. Uno de ellos es la creación por parte del alemán Paul Wolfskehl de un fondo especial para el último teorema de Fermat. Según la creencia popular, Wolfskehl intentó acabar con su vida debido a una relación de amor. Un tiempo antes de pensar que todo estaba listo y que estaba a punto de dispararse a tiempo un día a medianoche, descubrió un artículo sobre el último teorema de Fermat. Dio la casualidad de que el propio Wolfskehl era un entusiasta de las matemáticas y, sin saberlo, estaba inmerso en el artículo. Como resultado, se perdió el tiempo previsto para suicidarse. Posteriormente, Wolfskehl abandonó la idea de suicidarse y dejó un testamento antes de su muerte, otorgando una gran suma de dinero a la primera persona que demostrara el último teorema de Fermat, válido hasta 2007.

Después de siete años de minuciosa investigación, Andrew Wiles, profesor de la Universidad de Princeton en Estados Unidos, publicó su demostración del último teorema de Fermat en 1993. Su prueba fue confirmada en 1995 y dio lugar a la concesión del premio dejado por Wolfskehl.

La prueba de Wiles tiene más de cien páginas e implica muchos de los últimos conocimientos matemáticos. Actualmente, sólo un puñado de personas en el mundo pueden entenderla. Por lo tanto, ha habido tal controversia: algunas personas piensan que esta no puede ser la prueba que Fermat pensó en ese entonces, y debería haber una prueba más simple que esta que no se ha descubierto, pero mucha gente tiende a pensar que Fermat realmente la descubrió; nada en absoluto O simplemente pensé en un enfoque equivocado.

En 1637, cuando Fermat estaba leyendo la traducción latina de "Aritmética" de Diofanto, escribió junto a la octava proposición en el volumen 11: "Dividir un número cúbico entre la suma de dos números cúbicos, ya sea un La cuarta potencia se divide en la suma de dos cuartas potencias, o generalmente una potencia superior a la segunda se divide en la suma de dos potencias del mismo poder, sobre lo cual estoy seguro de haber descubierto una belleza, pero lamentablemente la. El espacio en blanco aquí es demasiado pequeño para escribir." Después de todo, Fermat no escribió la prueba, y sus otras conjeturas hicieron grandes contribuciones a las matemáticas, lo que inspiró a muchos matemáticos a interesarse en esta conjetura. El relevante trabajo de los matemáticos ha enriquecido el contenido de la teoría de números y promovido el desarrollo de la teoría de números.

El teorema de Fermat ha sido demostrado durante mucho tiempo para muchos n diferentes. Pero los matemáticos todavía no pudieron descifrar la situación general durante los primeros doscientos años.

En 1908, Furfsk, Alemania, anunció una bonificación de 100.000 marcos a la primera persona que demostrara el teorema dentro de los cien años posteriores a su muerte.

En 1983, Gerd Faltings demostró la conjetura de Mordell y concluyó que cuando n gt 2 (n es un número entero), no existe un coprimo a, b, c tal que an bn = cn.

En 1986, Gerhard Frey propuso la "conjetura épsilon": si hay a, b, c tales que an bn = cn, es decir, el último teorema de Fermat es erróneo, entonces la curva elíptica

y2 = x(x-an)(x bn)

Será un contraejemplo a la conjetura de Taniyama Shimura.

La sospecha de Frey fue inmediatamente confirmada por Kenneth Ribet. Esta conjetura muestra la estrecha relación entre el último teorema de Fermat, las curvas elípticas y las formas modulares.

En 1995, Wiles y Taylor demostraron la conjetura de Taniyama-Shimura dentro de un caso especial. La curva elíptica de Frey pasó a estar dentro del alcance de este caso especial, demostrando así el último teorema de Fermat.

El proceso de Wiles para demostrar el último teorema de Fermat también fue muy dramático. Le llevó siete años resolver la mayor parte de la prueba sin que nadie se diera cuenta; luego la anunció en una conferencia académica en junio de 1993 y al instante apareció en los titulares de todo el mundo. Pero durante el proceso de aprobación del certificado, los expertos descubrieron un error muy grave. Luego, Wiles y Taylor pasaron casi un año tratando de remediar la situación, y finalmente lo lograron en septiembre de 1994 con un método que Wiles había abandonado previamente. Su prueba se publicó en 1995 en Annals of Mathematics.

Referencia:/home/flt/flt08.htm