¿realizar la diferencia?

Llevar a cabo significa "ejecución, implementación"; continuar significa "(continuar) continuar, continuar", enfatizando la persistencia. Tales como:

El grupo de militares realizó el otro día una acción militar secreta.

Hace unos días, este grupo de militares llevó a cabo una operación militar secreta.

Los camaradas en Alemania estaban llevando a cabo una lucha heroica contra la guerra en las condiciones del fascismo en ese momento.

En ese momento, los camaradas en Alemania estaban llevando a cabo una heroica lucha contra la guerra en zonas fascistas.