Un problema de matemáticas de noveno grado

(1) Como se muestra en la figura (1) anterior, extienda AO para intersecar el círculo en E y conecte CE, luego

∠B=∠E, porque AE es el diámetro, entonces ∠ACE =90°=∠ADB, entonces ∠BAD=∠OAC

(2) Como se muestra en la figura (2) arriba, conecte CO y extienda el círculo de intersección en F, conecte AH y extiende la intersección BC en D,

Conecta BH, BO, AF, BF, supongamos que BE, OH se cruzan en G, ∴CF es el diámetro del círculo O, es decir, CF=20,

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∴OB=OF=OA, ∠CBF=∠CAF=90°, ∵H es el ortocentro de △ABC, ∴AD⊥BC, BH⊥AC, ∴BF//AD, AF//BH, ∴cuadrilátero AHBF es un paralelogramo, ∴AF=BH.

La siguiente conclusión se puede obtener de (1): ∠ABH=OBC, ∵BE es la bisectriz de ∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE,

∴∠GBG= ∠GBO, También BE⊥OH, BG=BG, ∴△GBH≌△GBO, ∴OB=BH,

∴AF=BH=OB=OA=OF, ∴△AOF es un triángulo equilátero, ∴∠AFC =60°,

∴ en Rt△AFC: AF=CF/2=10, ∴AC^2=CF^2?AF^2=20^2?10^2=300 ,

∴AC=10√3

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