¿Qué es una matriz simétrica real?
1. Los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios de la matriz simétrica real A son ortogonales.
2. Los valores propios de la matriz simétrica real A son todos números reales y los vectores propios son todos vectores reales.
3. La matriz simétrica real A de orden n debe estar diagonalizada de manera similar, y los elementos de la matriz diagonal similar son los valores propios de la matriz misma.
4. Si A tiene k valores propios λ0, debe haber k vectores propios linealmente independientes, o el rango r(λ0E-A) debe ser n-k, donde E es la matriz identidad.
5. La matriz simétrica real A debe ser ortogonalmente similar y diagonalizable.
¿Información ampliada?
La matriz laplaciana sin signo utilizada en el estudio de la teoría de grafos algebraica es una matriz simétrica real. La respuesta a la pregunta de que una matriz simétrica real debe diagonalizarse no es tan obvia.
Si A puede diagonalizarse, existe una matriz P invertible tal que P^(-1)AP se convierte en una matriz diagonal. Un corolario natural es que si A tiene n valores propios diferentes, entonces A debe ser diagonalizable. Sin embargo, una matriz simétrica real no necesariamente tiene n valores propios diferentes. La prueba requiere el uso de subespacios invariantes.
Enciclopedia Baidu-Matriz simétrica real