Novela de algoritmo genial
El Solitario Solitario (en adelante, "Solitario Spider") es un juego muy popular que la gente suele jugar en línea o sin conexión en sus computadoras. Como puedes ver por el nombre, este juego tiene un solo jugador. Hay dos juegos estándar de naipes en el juego, y los jugadores deben organizar los naipes en ocho grupos completos (dos juegos de cuatro colores cada uno) para eliminarlos aún más de la mesa. Las cartas se pueden sacar de la baraja de acuerdo con ciertas reglas o moverlas de una columna a otra. Las reglas del juego no se discutirán en detalle aquí, ya que se supone que el lector ya las conoce. Si necesitas recordarlo, puedes mirar aquí. Aquí sólo discutimos cuatro versiones de este juego.
La baraja Spider contiene dos juegos de cartas estándar.
Los jugadores se han quejado de la parcialidad en diferentes programas. Específicamente, si el programa detecta que un jugador tiene una tasa de ganancia alta, puede manipular en secreto el orden de las cartas posteriores para reducir la tasa de ganancia. Los propios jugadores también pueden estar predispuestos a rendir al máximo. Sin embargo, mediante algunos métodos estadísticos básicos, es posible confirmar o refutar esta "acusación sesgada". Esto también puede servir como un buen ejercicio para ver cómo se pueden utilizar datos observados en el mundo real y métodos estadísticos para determinar si una hipótesis (como "el programa de la tarjeta araña está sesgado") es verdadera o falsa.
Conceptos básicos
Desde la perspectiva de este artículo, asumimos que los jugadores no usan "Deshacer", "Rehacer" y "Agregar paso" cuando juegan Spider Card (simplificar el juego es una versión inicial aproximada) para que los jugadores no tengan que pensar en las puntuaciones, el tiempo invertido y los pasos dados. Mucha gente cree que es casi imposible ganar el juego en tales condiciones, pero Steve Brown, de la Universidad Estatal de California en Long Beach, ofrece algunas estrategias detalladas en su excelente libro "Winning Strategies for Spider Cards", mencionando que en 306 La tasa de victorias en un juego puede llegar al 48,7%. Al mismo tiempo, también señaló que su juego no es perfecto y que los jugadores profesionales pueden hacerlo mejor e incluso lograr una tasa de victorias de más del 60%. Experimenté con estas estrategias de Brown y los resultados mostraron que efectivamente podía lograr una tasa de ganancia de más del 48,7%.
Idealmente, un juego de Solitario Spider basado en computadora simularía un juego de cartas real con una mezcla adecuada. Si en algún momento del juego no se han visto N cartas, entonces cada carta tiene una probabilidad de 1/N de ser el siguiente flop (para facilitar la descripción, ignoramos las diferencias entre cartas del mismo palo y tamaño. Equivalencia ). Por ejemplo, en la posición inicial sabemos que la carta 10 está resaltada. Debido a que hay 8 K cartas en un * * * de un total de * * 104 cartas, la probabilidad de que una sola carta de Sean sea K es 8/104=1/13, por lo que el número esperado de K cartas es 10 × 65438+ . Si, después de jugar un número considerable de juegos, encontramos que el número promedio de K resaltadas se acerca a 11/13, tenemos razones para creer que la araña está sesgada.
Datos de prueba
Para cada juego, queremos registrar un conjunto de datos que refleje la suerte de la carta. Cuanto mayor sea el número, mayores serán las posibilidades de ganar. Una solución que se nos ocurrió fue evaluar el valor de estos datos de prueba en un juego que sea absolutamente justo e imparcial y luego compararlos con los valores de los datos registrados en un juego que sospechamos que pueden estar sesgados.
Una vez determinadas las diez primeras cartas, podemos calcular los "Turnos Garantizados (GT)", que es el número mínimo de cartas que un jugador puede estar seguro de revelar antes de verse obligado a pasar a otra fila. Siempre que se decide una nueva fila de diez cartas, podemos hacer un cálculo similar y pretender que es el comienzo de un nuevo juego. De esta forma podemos calcular el GT medio (AGT). Si el valor de GT es pequeño después de algunas rondas, el jugador está en problemas. Cabe señalar que AGT no tiene nada que ver con el jugador en sí, por lo que es fácil simular la distribución de probabilidad de AGT realizando múltiples experimentos (es decir, determinando múltiples filas).
Por experiencia, los jugadores también pueden meterse en problemas si la distribución general de las cartas es mala. Por ejemplo, cuando hay siete Q pero solo dos J que no están escritas, seguirá habiendo un problema incluso si se han borrado una o más columnas. Por tanto, aquí se define una variación total al cuadrado (TSV), cuyo valor es la suma de los cuadrados negativos del número de cartas de tamaños adyacentes.
En el ejemplo de ahora, la suma de siete Q y dos J contribuiría -(7-2) 2 = -25. El valor negativo aquí garantiza que el aumento o disminución del TSV sea consistente con el aumento o disminución de la probabilidad de ganar, al igual que AGT. Cada vez que se lanza una nueva tarjeta, calcularemos el TSV, de modo que podamos calcular el TSV promedio (ATSV) de un solo juego. Cabe señalar que ATSV también es independiente del jugador. Suponemos que el jugador que juega revelará todas las cartas retenidas en orden aleatorio (aunque el jugador puede elegir qué carta revelar primero, la probabilidad de revelar cada carta es la misma). Afortunadamente, esto se puede lograr fácilmente mediante simulación.
Gráfico de dispersión típico de cartas de araña (○ = ganar, × = perder)
Arriba se muestra un diagrama de dispersión típico, con círculos azules y cruces rojas que representan victorias y fracasos.
Los resultados de la simulación muestran que para un programa de juego imparcial después de una gran cantidad de juegos, AGT debería ser igual a 3,96 y ATSV debería ser igual a -32,29. En la posición inicial del siguiente ejemplo, GT=1 y TSV=-42. Como el juego aún no ha terminado, no sabemos cuáles son los valores de AGT y ATTV.
Por ejemplo, posición inicial GT=1, TSV=-42.
El cálculo es el siguiente:
Prueba de hipótesis
Para comprobar si un juego de cartas araña está sesgado, utilizamos un método llamado prueba de hipótesis. Primero hagamos una hipótesis nula (lo que significa que el efecto que sospechamos puede no existir), aquí se refiere a "el programa Solitario Spider no tiene sesgos" y la hipótesis complementaria es "el programa Solitario Spider crea deliberadamente obstáculos para reducir la probabilidad del jugador". tasa de ganancia".
Primero seleccione un número grande n como el número de juegos que se detectarán en el juego de cartas araña, y luego calculamos AGT y ATSV para cada juego. La siguiente idea general es encontrar la probabilidad de la observación que queremos comparar (es decir, el valor P), o más extremo, la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera (es decir, el programa no esté sesgado). Si la probabilidad está por debajo de cierto umbral (es decir, nivel de significancia), es poco probable que un procedimiento insesgado produzca los valores AGT y ATSV que observamos en n juegos, entonces rechazamos la hipótesis nula y concluimos que el juego está sesgado en conclusión. .
Entonces, ¿cómo calculamos la probabilidad de obtener el valor p, es decir, observando los valores AGT y ATSV que observamos (demostrando que el juego no está sesgado)? En la simulación obtuvimos los valores esperados de AGT y ATSV en el juego imparcial, que son 3,96 y -32,9 respectivamente. Lo que es más interesante es que la teoría de la probabilidad nos dirá cómo se distribuyen los valores de AGT y ATSV en un juego imparcial. En otras palabras, puede ayudarnos a calcular la probabilidad de observar un determinado valor de AGT y ATSV. La llamada "prueba t de Student" puede tener en cuenta estos valores y obtener el valor p que queremos. Los detalles se omiten aquí. Aquellos que estén interesados pueden consultar el contenido relevante de las estadísticas de probabilidad.
Desde la perspectiva de este artículo, elegimos N=100 como el número de juegos que jugamos en este programa de juego para probar y obtenemos un valor de nivel de significancia de 0,05.
Estimación de la probabilidad de ganar
Además de AGT y ATSV, también queremos evaluar la probabilidad de ganar "verdadera" del programa de cartas araña "imparcial". Una dificultad obvia es que la tasa de victorias depende del jugador, por lo que es difícil verificar la afirmación de que "un jugador puede ganar el 50% de los juegos". Otro escenario es que tuve una tasa de ganancia del 45 % al 60 % en diferentes programas de juegos de Spider Card, y no hubo evidencia de que mi tasa de ganancia mejorara durante el uso de esos programas (es decir, mi tasa de ganancia no se correlacionó con el tiempo) mostrando una correlación positiva).
Un divertido sitio web gratuito de juegos de cartas en línea, Pipkin's Idiot's Delight Card Server, contiene muchos juegos de cartas. Permite a los jugadores especificar un "número de semilla" del 1 al 999999. Por ejemplo, el número de semilla es 142857 y las primeras 10 cartas son siempre 2J56J9JQ59, pero la combinación es diferente. Cabe señalar que si el jugador genera aleatoriamente una larga lista de semillas antes del juego, el programa no puede ajustar el nivel de dificultad en función de la tasa de victorias del jugador. Es por este motivo que puede elegir este sitio web para estimar sus probabilidades de ganar.
Rechazar la hipótesis nula cuando es cierta se denomina error tipo I, y su probabilidad es igual al nivel de significancia. Otro tipo de error en la prueba de hipótesis se denomina error de tipo II, que se refiere a aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.
Jugué 100 juegos en Idiot's Delight usando números de semillas del 1 al 100.
Al final, gané 59 juegos y perdí 41. Así que calculo que mi tasa de victorias en un juego Spider "imparcial" sería de alrededor del 59%.
Medición
Jugué al Solitario Spider 100 veces en el Solitario Spider gratuito. Aunque elegí jugar aquí, después de experimentar, descubrí que la experiencia de juego aquí es realmente "pobre": aunque puedo ganar, incluso los jugadores expertos tendrán dificultades para jugar. Cada juego registra el resultado del juego, así como los datos AGT y ATSV. Observo que los valores p para AGT y ATSV son 0,115 y 0,201 respectivamente. Esto significa que los números de AGT y ATSV son más bajos de lo esperado (es decir, los jugadores sufrirán pérdidas), pero dado que ambos valores están por encima de nuestro umbral de 0,05, no son estadísticamente significativos: esto podría deberse a una variación aleatoria de la aparición de valores más bajos. .
Lamentablemente sólo gané 46, 13 menos de lo esperado. Esto indica que es posible que se requieran más pruebas y validaciones. Sin embargo, sabiendo que la tasa de victorias de cada jugador es diferente, probablemente no he jugado lo mejor que pude en estos 100 juegos.
Mi conclusión es que no hay evidencia suficiente para demostrar que el programa de Free Spider Solitaire sea sesgado. 46 victorias es un poco deprimente, pero el programa ciertamente ha resistido la prueba. Sin embargo, es posible que otros programas de tarjetas araña no tengan tanta suerte.
Autor: Tao Zheyuan
Traducción: Dennis
Revisión: Nuor
Enlace original:
https: / /plus.maths.org/content/spider-solitaire
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