teorema del ángulo circunferencial

El teorema del ángulo circunferencial: el ángulo circunferencial subtendido por un arco es igual a la mitad del ángulo central subtendido por él

Demostración:

Se sabe que en ⊙O, ∠BOC Como el arco BC es opuesto al ángulo circunferencial ∠BAC, demostrar: ∠BOC=2∠BAC.

Demostración:

Caso 1:

Como se muestra en la Figura 1, cuando el centro O está en un lado de ∠BAC, es decir, cuando A, O y B están en la misma línea recta:

Figura 1

∵OA y OC son radios

Solución: ∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO (ángulos equiláteros)

∵ ∠BOC es el ángulo exterior de △AOC

∴ ∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

Caso 2:

Como se muestra en la Figura 2 , cuando el centro O está dentro de ∠BAC:

Conecte AO y extienda AO para cruzar ⊙O en D

Figura 2

∵OA, OB, y OC son radios

Solución: ∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO, ∠CAD=∠ACO (ángulos equiláteros)

∵ ∠BOD y ∠COD son los ángulos exteriores de △AOB y △AOC respectivamente

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∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD (el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes)

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠ CAD (el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes)

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

Caso 3:

Como se muestra en la Figura 3, cuando el El centro del círculo O está fuera de ∠BAC:

Figura 3

Conecte AO y extienda la intersección de AO ⊙O Conecte OA y OB a D.

Solución: ∵OA, OB, OC son radios

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO (lados iguales a ángulos iguales) , ∠CAD=∠ACO(OA=OC)

∵∠DOB y ∠DOC son los ángulos exteriores de △AOB y △AOC respectivamente

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO = 2∠BAD (El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes)

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD (El ángulo exterior de un triángulo es igual a dos ángulos interiores no adyacentes (suma)

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

Así es demostrado: ∠BOC=2∠BAC