Cómo utilizar la animación para demostrar la estabilidad de un triángulo
1. La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor que el tercer lado, lo que también demuestra que la diferencia entre dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser menor que el tercer lado.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados.
3. La bisectriz del vértice de un triángulo isósceles, la línea media de la base y la altura de la base coinciden, es decir, las tres rectas son una.
4. La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa - teorema de Pitágoras. La línea central de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa.
5. Un triángulo tiene seis centros: centro interior, centro exterior, centro de gravedad, centro vertical y recta de Euler.
Incentro: La intersección de las bisectrices de los tres ángulos es también el centro de la circunferencia inscrita del triángulo.
Atributo: La distancia a los tres lados es igual.
Excentricidad: El punto de intersección de tres rectas verticales es también el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo.
Propiedades: Las distancias a tres vértices son iguales.
Centro de gravedad: La intersección de tres líneas centrales.
Propiedad: La distancia desde la bisectriz de tres líneas medias hasta el vértice es el doble de la distancia desde el punto medio del lado opuesto.
Centro vertical: Intersección de líneas rectas de tres alturas.
Propiedades: Este punto se divide en dos partes para cada línea alta.
Paracentro: Punto de intersección de la bisectriz exterior de dos ángulos cualesquiera de un triángulo y la bisectriz interior del tercer ángulo.
Atributo: La distancia a los tres lados es igual.
Central: Es la intersección de una recta que pasa por un vértice del triángulo y divide el perímetro del triángulo en 1:1 y uno de los lados del triángulo.
Propiedades: Un triángulo * * * tiene tres centros límite, y las tres líneas rectas que conectan estos tres centros límite y sus correspondientes vértices triangulares se cruzan en un punto.
Línea de Euler: El centro exterior del triángulo, el centro de gravedad, el centro del círculo de nueve puntos y el centro vertical se encuentran en la misma línea recta. Esta línea recta se llama línea de Euler del triángulo.
6. El ángulo exterior de un triángulo (el ángulo formado por un lado del ángulo interior del triángulo y la extensión del otro lado) es igual a la suma de sus ángulos interiores no adyacentes.
7. Un triángulo tiene al menos dos ángulos agudos.
8. Bisectriz de un triángulo: La bisectriz de un ángulo de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo. El segmento de recta entre el vértice del ángulo y el punto de intersección se llama bisectriz del ángulo. el triangulo.
9.En un triángulo isósceles, la bisectriz del vértice del triángulo isósceles biseca la base y es perpendicular a la base.
10. Teorema de Pitágoras Inverso: Si los tres lados de un triángulo tienen la siguiente relación, entonces A? ¿b? =c?
Entonces este triángulo debe ser un triángulo rectángulo.
[Editar este párrafo] ¿Por qué los triángulos son estables?
Tomando dos lados cualesquiera de un triángulo, los extremos no comunes de los dos lados están conectados por el tercer lado.
*El tercer borde no se puede estirar ni doblar.
∴La distancia entre los dos extremos es fija.
El ángulo entre estos dos lados es fijo.
Estos dos lados son opcionales
∴Los tres ángulos del triángulo son fijos, y el triángulo también es fijo.
Los triángulos son estables.
Si selecciona dos lados adyacentes de N polígonos (n≥4), entonces los puntos finales no comunes de los dos lados están conectados por múltiples aristas.
∴La distancia entre los dos extremos no es fija.
El ángulo entre los dos lados no es fijo.
∴ Cada ángulo del polígono de n lados (n≥4) no es fijo, por lo que el polígono de n lados (n≥4) es inestable.
[Editar este párrafo] La relación entre los ángulos de un triángulo
La suma de (1) triángulos es igual a 180;
(2) Un ángulo exterior de un triángulo Igual a la suma de dos ángulos interiores que no son adyacentes a él;
(3) El ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior que no es adyacente a él;
(4) La suma de los dos lados de un triángulo es mayor que El tercer lado, la diferencia entre los dos lados es menor que el tercer lado;
(5) En el mismo triángulo, el lado mayor mira al ángulo mayor y el ángulo mayor mira al lado mayor.
(6) Cuatro segmentos de recta especiales en un triángulo: bisectriz del ángulo, línea media, altura y línea media.
(7) La intersección de las bisectrices de un triángulo se llama centro del triángulo. Es el centro del círculo inscrito del triángulo y su distancia desde cada lado es igual.
(8) El centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo, es decir, el centro exterior, es el punto de intersección de las perpendiculares de los tres lados del triángulo, y su distancia a los tres vértices es igual .
(9) La intersección de las tres líneas medias de un triángulo se llama centro de gravedad del triángulo. Su distancia a cada vértice es igual al doble de la distancia al punto medio del lado opuesto.
(10) La intersección de las tres alturas de un triángulo se llama centro vertical del triángulo.
(11) La línea media del triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad del tercer lado.
Nota: ①El centro y el centro de gravedad del triángulo están ambos dentro del triángulo.
②Un triángulo obtuso tiene su centro vertical y su centro exterior está fuera del triángulo.
③Un triángulo rectángulo tiene un centro vertical y un centro exterior en los lados del triángulo. (El centro vertical de un triángulo rectángulo es el vértice recto y el centro exterior es el punto medio de la hipotenusa. (4) El centro vertical y el centro exterior de un triángulo agudo están ambos dentro del triángulo.
[Editar este párrafo] Triángulo especial
1. Triángulos semejantes
(1) Dos triángulos con la misma forma pero de diferentes tamaños se llaman triángulos semejantes
(2 ) Propiedades de triángulos semejantes
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Los lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales y los ángulos correspondientes son iguales
La razón de los lados correspondientes de triángulos semejantes se llama razón de similitud.
La razón de los perímetros de triángulos semejantes es igual a la razón de semejanza, la razón de área es igual al cuadrado de la razón de semejanza
Los segmentos de recta correspondientes (bisectrices de ángulo). , líneas medias y alturas) de triángulos similares son iguales
(3) Juicio de triángulos similares
1 Si tres lados son proporcionales, dos triángulos son similares
<. p>Dos triángulos son semejantes. Si dos lados son proporcionales, los ángulos entre ellos son iguales2. Triángulos congruentes
(1) Dos triángulos que pueden superponerse completamente se llaman triángulos congruentes
(2) Propiedades de los triángulos congruentes
Los ángulos correspondientes (lados). ) de triángulos congruentes son iguales.
Los segmentos de recta correspondientes (bisectrices de ángulo, líneas medias, alturas) de triángulos congruentes son iguales y sus perímetros son iguales, etc.
(3) Juicio. de triángulos congruentes
① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL
3. Triángulos isósceles
Propiedades de un triángulo isósceles;
(1) Los dos ángulos de la base son iguales;
(2) La bisectriz del ángulo del vértice, la línea media de la base y la línea media de la base Las alturas coinciden entre sí;
Determinación de un triángulo isósceles;
(1) Equiangular y equilátero;
(2) Dos ángulos base son iguales;
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4. triángulo
Propiedades del triángulo equilátero:
(1) La bisectriz del ángulo del vértice, la línea media en la base y la altura en la base Coincidencia;
(2) Todos los ángulos de un triángulo equilátero son iguales e iguales a 60°.
Determinación de un triángulo equilátero;
(1) Tres un triángulo con ángulos iguales es un equilátero. triángulo;
(2) Un triángulo isósceles con ángulos iguales a 60° es un triángulo equilátero.
[Editar este párrafo] Fórmula del área de un triángulo
p>(1)S△=1/2*ah (a es la base del triángulo, H es la altura correspondiente a la base)
(2)S△= 1/2 * AC * SINB = 1/2 * BC * Sina = 1/2 * AB * SINC (los tres ángulos son ∠A∠B∠C, y los lados opuestos son A.
(3)S△= √ S *(S-a)*(S-b)*(S-c)S = 1/2(a b c)
(4)S△=abc/(4R)R es el radio del círculo circunscrito.
(5)S△=1/2*(a b c)*r r es el radio del círculo inscrito.
(6) | a b 1 |
S△=1/2 * | c d 1 |
| e f 1 |
| a b 1 |
| c d 1 | es un determinante de tercer orden Este triángulo ABC está en el sistema de coordenadas rectangular plano A(a, B), B(c, d), C(e, f), donde ABC.
| e f 1 |
Es mejor realizar las selecciones en el sentido contrario a las agujas del reloj empezando por la esquina superior derecha, porque los resultados obtenidos son generalmente positivos. Si no sigues esta regla, es posible que obtengas un valor negativo, pero no importa, simplemente toma el valor absoluto y no afectará el tamaño del área del triángulo.
[Editar este párrafo] Objetos triangulares en la vida
Paraguas, sombreros, banderas de colores, pantallas de lámparas, velas, pabellones, montañas nevadas, tejados, sandías cortadas en triángulos, helado de antorcha, la línea de borde de peces tropicales, alas de mariposa, cohetes, brotes de bambú, pagodas, pirámides, calzoncillos, triángulos para máquinas, algunas señales de tráfico, el delta del río Yangtze, puentes atirantados, etc.
Condiciones para la congruencia de triángulos
Nota: Sólo tres ángulos son iguales, por lo que no se puede deducir la congruencia de dos triángulos.
(1) Dos triángulos con tres lados iguales son iguales, abreviado como "SSS".
(2) Dos triángulos con dos ángulos congruentes y sus lados incluidos se abrevian como "ASA".
(3) Dos ángulos y el lado opuesto de un ángulo corresponden a la congruencia de dos triángulos, abreviada como "AAS".
(4) Dos triángulos con ángulos iguales en ambos lados son congruentes, abreviado como "SAS".
(5) La hipotenusa y un lado rectángulo corresponden a la congruencia de dos triángulos rectángulos, abreviado como "HL".
Propiedades de los triángulos congruentes
Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales y los lados correspondientes también son iguales.
La suma de los ángulos interiores y exteriores de un polígono
(1) La suma de los ángulos interiores de N polígonos es igual a (n-2). 180, la suma de los ángulos exteriores del polígono de N lados es igual a 360.
(2) Cada ángulo interior de un polígono regular de N lados es igual a [(N-2)×180]‖N, y cada ángulo exterior es igual a 360 ÷N n..
(3 ) Un polígono N tiene (n-3) diagonales desde un vértice, y un polígono N * * * tiene (n-3) ÷ 2 diagonales.
[Editar este párrafo] Segmentos de recta en triángulos
Línea media: La línea que conecta el vértice y el punto medio del lado opuesto, bisectando el triángulo.
Altura: Línea que va desde el vértice hasta el pie vertical opuesto.
Bisectriz de un ángulo; línea recta que va desde un vértice hasta un punto equidistante de ambos lados.
Línea media: Línea que conecta los puntos medios de dos lados cualesquiera.
[Editar este párrafo] Teoremas relacionados con triángulos
Teorema del centro de gravedad
Las tres líneas medias de un triángulo se cortan en un punto, y la distancia desde el punto al vértice está desde el centro del lado opuesto al doble de la distancia del punto al vértice.
El punto de intersección de arriba se llama centro de gravedad del triángulo.
Teorema de la excentricidad
Las bisectrices perpendiculares de los tres lados de un triángulo se cortan en un punto.
Este se llama centro exterior del triángulo.
Teorema del centro perpendicular
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto.
Esto se llama centro del triángulo.
Teorema interno
Las bisectrices de los tres ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto.
Esto se llama el corazón de un triángulo.
Teorema periocéntrico
La bisectriz del ángulo interior de un triángulo se corta con la bisectriz del ángulo exterior en los otros dos vértices.
Este se llama centro de masa del triángulo. Un triángulo tiene tres centroides.
El centro de gravedad, centro exterior, centro vertical, centro interior y centro transversal de un triángulo se llaman los cinco centros del triángulo.
Todos ellos son puntos importantes relacionados del triángulo.
Teorema de la línea media
La línea media de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad del tercer lado.
Teorema de la relación de los tres lados
La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado, y la diferencia de dos lados cualesquiera es menor que el tercer lado.
La fórmula para calcular el área de un triángulo
s (área) = a (longitud del lado) H (altura) / 2 - el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de un lado por la altura de este lado.
[Editar este párrafo] Teorema de Pitágoras
En Rt triángulo ABC, < a = 90 grados, entonces
AB AB AC AC=BC BC
>
A gt luego 90 grados
AB a b AC AC gt BC
[Editar este párrafo] Teorema de Menelios
El antiguo matemático griego Menelao primero; demostró el teorema de Menelao. Señala que si una línea recta corta los tres lados AB, BC y CA de △ABC o sus extensiones en los puntos F, D y E, entonces (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA )=1 .
Demostración:
El punto a es la línea de extensión de AG‖BC que cruza a DF en g,
Entonces af/FB = ag/BD, BD / CC = BD/CC, ce/ea = CC/ag.
Multiplica las tres fórmulas: AF/FB×BD/DC×CE/EA = Ag/BD×BD/DC×DC/Ag = 1.
El teorema inverso también es cierto: si hay tres puntos F, D, E en los lados AB, BC, CA o sus extensiones, y se satisfacen (AF/FB)×(BD/DC)×( CE /EA)=1, entonces estos tres puntos F, D y E son líneas * * *. Usando este teorema inverso, podemos determinar la línea de tercios.
Además, muchas personas piensan que escribir esta fórmula es demasiado complicado y no pueden recordarla sin leerla. Aquí hay algunos consejos que otros han dado para ayudarlos con su escritura.
Para ilustrar el problema y dar a todos una impresión profunda, asumimos que A, B, C, D, E y F en la imagen son seis atracciones turísticas conectadas por carreteras. Sobrevolamos estas atracciones en helicóptero y aterrizamos en cualquiera de ellas. Nos trasladamos a un autobús y fuimos a todos los lugares pintorescos a lo largo de la carretera, y finalmente regresamos al punto de partida, donde el helicóptero estaba estacionado esperando nuestro regreso.
No necesitamos pensar en cómo tomar la ruta más corta, simplemente “visitar” todas las atracciones. Un lugar pintoresco por el que simplemente "pasas" sin detenerte a mirar no es un "recorrido".
Por ejemplo, cuando el helicóptero aterriza en el punto A, partimos del punto A, "visitamos" las atracciones representadas por las otras cinco letras, y finalmente volvemos al punto de partida A.
Además, existe el requisito de que las tres atracciones en la misma línea recta se visiten continuamente antes de cambiar a otras atracciones en la línea recta.
Existen cuatro planes de viaje partiendo del punto A, que se explican uno a uno a continuación:
Plan 1 - De A a F (sin escalas), y luego de regreso a B (sin parar), luego a D (sin parar), luego de B (sin parar) a C (sin parar), luego a E (sin parar) y finalmente de E a C (sin parar) ) hasta el punto de partida A..
Según este esquema, puedes escribir la siguiente relación:
(AF:FB)*(BD:DC)*(CE:EA )=1.
Ahora ya sabes cómo escribir la fórmula del teorema de Menelios.
El plan de viaje que parte del punto A también incluye:
El plan 2 se puede abreviar como: A→B→F→D→E→C→A, que se puede escribir como sigue la fórmula:
(AB: BF)*(FD: DE)*(EC: CA)=1 A partir de a, también puedes ir en dirección a "C", por lo que hay:
Imagen ③-A → C → E → D → F → B → A, a partir de la cual se puede escribir la fórmula:
(AC: CE)*(ED: DF) *(FB: BA)=1 A partir de a, hay un último plan:
Esquema ④-A → E → C → D → B → F → A, a partir del cual se escribe la fórmula:
(AE:EC)*(CD:DB)*(BF:FA)=1.
Nuestro helicóptero también puede optar por aterrizar en cualquier punto B, C, D, E, F. Entonces hay algunas otras fórmulas en la imagen.
Cabe destacar que algunas fórmulas contienen cuatro factores en lugar de los tres del teorema de Menelios. Cuando el helicóptero aterriza en el punto B, existen cuatro factores. En los puntos C y F, hay fórmulas de tres términos y fórmulas de cuatro términos. En la Fórmula 4, algunas atracciones se visitarán dos veces.
No sé si Menelios piensa lo mismo. Sólo enumeré una o dos fórmulas típicas para que todos las vean.
¿Podemos decir ahora que tenemos una comprensión más profunda del teorema de Menelios? Esas complicadas relaciones de multiplicación y división son difíciles de recordar si están escritas incorrectamente.
[Editar este párrafo] Teorema de Ceva
Teorema de Ceva
Supongamos que o es cualquier punto en △ABC,
AO , BO y CO se cruza en D, E, F respectivamente, luego BD/DC*CE/EA*AF/FB=1.
Introducción al método de demostración
(I) Este problema se puede demostrar mediante el teorema de Menelao:
∑△ADC es interceptado por una línea recta BOE,
p>
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
Y △ABD es cortado por la recta COF, ∴ BC/CD*DO /OA*AF/BF=1②.
② ①: BD/DC*CE/EA*AF/FB=1.
(2) También se puede demostrar mediante la relación de áreas.
∫BD/DC = S△ABD/S△ACD = S△DBO/S△COD =(S△ABD-S△DBO)/(S△ACD-S△COD)= S△ AOB/S△AOC③
Del mismo modo, CE/EA = S△BOC/S△AOB4af/FB = S△AOC/S△BOC⑤.
③××× ⑤ BD/DC*CE/EA*AF/FB=1.
Utiliza el teorema de Ceva para demostrar que las tres líneas de altitud de un triángulo deben cruzarse en un punto:
Supongamos que los catetos verticales de los tres lados AB, BC y AC son D, E y F respectivamente.
p>
De acuerdo con el teorema inverso del teorema de Ceva, porque (AD: DB)*(Be: EC)*(CF: FA)=[(CD * CTGA)/[(CD * CTGB)]*[(AE * CTGB)/(AE * CTGC)]*[(BF * CTGC)/
[(AE*ctgB)]=1, entonces las tres alturas CD, AE y BF se cruzan en un punto.