Problema de valor máximo en cálculo diferencial de funciones multivariadas en matemáticas avanzadas

Reseña de libro sobre cómo aprender cálculo fácilmente

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El origen de la reseña de libro

En mayo del año pasado, el El autor obtuvo Science Press El libro "Aprenda cálculo fácilmente" presentado por el editor (maestro) Zhang Zhongxing. Por curiosidad sobre el título, el autor leyó el libro de una sola vez y sintió que era realmente "fácil" de leer. Cálculo es un curso obligatorio para las carreras universitarias de ciencias e ingeniería, y dichos cursos también se denominan "matemáticas avanzadas". El llamado cálculo, incluido el cálculo diferencial y el cálculo integral, desempeña un papel muy bueno al abordar muchos problemas prácticos. Por lo tanto, es muy necesario que los estudiantes de ciencias e ingeniería aprendan bien cálculo.

No hay duda de que evidentemente existen en el mercado diversos libros de texto de cálculo y libros de divulgación científica. Entonces, la pregunta natural es: ¿por qué el autor de este libro, el Sr. Zhuo Yonghong, escribió un libro de texto de cálculo tan "simple y fácil de aprender"?

Con respecto a este tema, el autor expresó una vez esta opinión en el prefacio:

“El autor siente profundamente que la razón por la cual muchas personas no logran resultados satisfactorios en la materia de cálculo es A menudo no es por falta de talento o mala actitud de aprendizaje, sino porque no captan el espíritu central de varias preguntas de cálculo y se concentran en el cálculo de símbolos abstractos, por lo que no pueden entrar".

De hecho, es como el El autor dijo: Muchos libros de texto de cálculo actuales tienden a centrarse en listas simples de símbolos y fórmulas matemáticas, pero no presentan intuitivamente algunos teoremas de cálculo a los lectores. Durante mucho tiempo, muchas personas odiaron el cálculo e incluso dijeron que nunca querían ver los símbolos derivados de Newton y Leibniz en sus vidas.

Sin embargo, resolver este problema no es tan fácil, y el autor de este libro intenta aliviar esta mala situación con su explicación "fácil de entender" del cálculo.

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Características de este libro

Mirando detenidamente este libro, encontré que tiene las siguientes características:

(1 )Introducción al cálculo utilizando la historia de las matemáticas

Muchos libros de texto de cálculo actuales explican principalmente los resultados matemáticos en sí mismos, por lo que la mayoría de ellos se introducen en el modo de "definición-teorema-ejemplo-ejercicio", que es difícil de entender. despertar el interés de los lectores por la lectura. Una de las características de este libro es que introduce alternativamente la historia de las matemáticas. A través de la introducción de la historia de las matemáticas, se logra una integración efectiva de las matemáticas y la historia. Vale la pena señalar que al comienzo de cada capítulo de este libro habrá una cita famosa de un matemático o alguien de otros campos. Por ejemplo, en el capítulo 2 "Cálculo diferencial" de este libro, se encuentran los profundos conocimientos del filósofo Voltaire sobre el cálculo:

"El cálculo es una ciencia de cálculo y medición precisos de cosas inimaginables. El arte de".

Aunque a los ojos de muchas personas, las citas famosas de los matemáticos no pueden ayudarlos a comprender esas fórmulas matemáticas aparentemente aburridas, es importante tener en cuenta que las opiniones de estas figuras destacadas a menudo pueden ayudarlos a comprender. Entienden rápidamente. la connotación esencial de un tema. Por supuesto, en este libro, al colocar citas famosas antes de cada capítulo, puedes establecer efectivamente el tema del libro (sí, ¡estás leyendo un libro de cálculo!).

Además, el autor también dedica mucho tiempo en este libro a explicar algunos materiales históricos matemáticos sobre el cálculo, como la disputa histórica por derechos de autor entre Newton y Leibniz, el problema de la línea de descendencia más pronunciada, la historia de Lobius. de Da y Bernoulli, etc. Aunque estos son hechos clásicos del cálculo, el autor no es convencional y enumera estas cosas antiguas en su propio lenguaje único y humorístico, lo que le hace sentir que hay un profesor de matemáticas interesante que enseña la historia del cálculo. Además, si lee atentamente las palabras del autor, podrá ver que el autor tiene un fuerte acento taiwanés (por ejemplo, el texto central de la página 174 del libro "¡En realidad, estas dos grafías son equivalentes en francés y se pueden usar! "), para que se pueda comprender la historia del cálculo con características taiwanesas.

(2) Mostrar en detalle las ideas de resolución de problemas para resolver el problema.

La esencia del cálculo es el cálculo diferencial y el cálculo integral. La parte del cálculo diferencial involucra los conceptos de derivadas y diferenciabilidad, y los teoremas matemáticos involucrados incluyen el último teorema de Fermat, el teorema de Rolle, el teorema del valor medio de Lagrange, el teorema del valor medio de Cauchy, etc. Estos teoremas matemáticos también ayudan a los estudiantes de cálculo a comprender a un grupo de matemáticos extranjeros: Fermat, Lagrange y Cauchy. La parte teórica de las integrales involucra principalmente integrales de Riemann, a diferencia de las integrales de Lebesgue en el curso del Departamento de Matemáticas sobre funciones de variables reales.

El dominio de la teoría matemática se refleja principalmente en el análisis matemático, y el propósito de este libro es aprender cálculo fácilmente, por lo que, naturalmente, se centrará en los cálculos matemáticos. Por ejemplo, ¿cómo calcular la derivada de una función? ¿Cómo calcular la integral indefinida y la integral definida de una función? ¿Cómo calcular una integral doble y triple? Éstas son cuestiones clave a resolver en la enseñanza del cálculo, y la demostración teórica pasa a un lugar secundario.

Otra característica de este libro es que el autor utiliza su propio lenguaje popular y su forma de pensar para demostrar las ideas clave para resolver problemas.

Por ejemplo, cuando el autor demuestra el problema del límite de la función, presenta paso a paso cómo utilizar técnicas matemáticas para lograr el objetivo final. Por ejemplo, algunos ejercicios requieren racionalización del numerador y otros requieren desigualdades triangulares. Por ejemplo, en el libro "Ejemplo 1.4.12", el autor escribió este párrafo:

"A continuación, utilice un pequeño truco para ver con claridad. Esto se llama desigualdad del triángulo".

No. Los lectores que lo sabían pensaron que habían ingresado por error en una novela de artes marciales. ¿Cómo podría haber algo sospechoso? De hecho, el círculo de las matemáticas en sí puede considerarse como un campo pequeño, y los trucos que se utilizan aquí para resolver problemas también son secretos de las artes marciales en matemáticas. El autor alguna vez tuvo una visión inapropiada: "Las habilidades matemáticas son como gestos y el pensamiento matemático es como la fuerza interna". Si se usa aquí, entonces la desigualdad del triángulo es realmente un truco, solo un simple gesto.

(3) Ser bueno en el uso de diagramas para visualizar conceptos matemáticos.

Cuando leí este libro por primera vez, fue difícil no sentirme atraído por las exquisitas imágenes geométricas creadas por el autor. En cálculo, las operaciones simbólicas formales son inevitablemente aburridas y pocas personas quieren trabajar con fórmulas matemáticas todo el tiempo. De hecho, si comprende los artículos de las revistas de biología, no es difícil ver que sus artículos tratan sobre "mirar las imágenes y hablar". De hecho, las matemáticas deberían ser así. Se dice que cuando los matemáticos discuten temas académicos, a menudo primero hacen un dibujo y luego agregan las descripciones matemáticas correspondientes basadas en el dibujo.

En este libro, los impresionantes gráficos son, naturalmente, el dibujo de imágenes geométricas de dos o tres dimensiones. Especialmente cuando nos encontramos con problemas con integrales dobles e integrales triples, si hay imágenes geométricas más intuitivas que nos ayuden a comprender el problema, entonces lograremos el objetivo de simplificar lo complejo. De hecho, hay demasiadas ilustraciones en este libro, sin mencionar el efecto de comprender intuitivamente conceptos matemáticos.

Composición cuidadosa de libros en látex

No mucho después de recibir este libro, quedé satisfecho con el diseño del libro. Además de sorprenderse por las habilidades tipográficas del autor, el editor de este libro, el Sr. Zhang Zhongxing, le dijo al autor: "El autor, el Sr. Zhuo Yonghong, es un maestro tipográfico tex y la segunda persona poderosa que ha conocido hasta ahora. " Además, el profesor Zhang también añadió: "Además de no poder hacer dibujos rápidamente, es básicamente la velocidad a la que el profesor toma las notas de la clase para componerlas".

Aunque el El autor nunca conoció al Sr. Zhuo Yonghong, a través de la lectura. Según el diseño de este libro y la descripción del Sr. Zhang Zhongxing, llegué a la conclusión de que lo que dije debe ser cierto (después de todo, ¡los matemáticos son rigurosos!).

Este libro es realmente hábil en la composición tipográfica LaTeX y se puede comparar con otros reproductores LaTeX. Un hecho notable es que el autor ha insertado muchas flechas en el proceso de resolución de problemas de este libro y tiene un estilo único en la disposición de diversas definiciones, teoremas y propiedades. El autor cree que el diseño de muchos libros de matemáticas nacionales inevitablemente extraerá lecciones de este libro.

Tres

Escrito al final

Con respecto al libro "Fácil de aprender cálculo", las características enumeradas son solo algunas de las ventajas del libro. Los propios lectores deben analizar otras ventajas para descubrirlas. Una deficiencia de este libro es, naturalmente, que no continúa introduciendo la teoría de las integrales de superficie y las integrales de curvas. Este libro está dividido en doce capítulos, pero el capítulo 12 solo presenta integrales dobles e integrales triples, por lo que, en mi opinión, esto no es suficiente para los estudiantes que desean aprender cálculo.

El autor también estudia matemáticas, por lo que no es apropiado escribir un libro para evaluar a los profesores de matemáticas. Así que aquí está el final de una frase que Chen Yue, profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad Normal de Shanghai, advirtió una vez al autor:

“Cuando leas un libro, imagínate como el propio autor. Si escribes, ¿puedes escribir? ¿Por qué haces esto? Escribe?

IV

Nota del editor

El Sr. Zhu Xiao es demasiado humilde.

El Sr. Zhu Xiao es un estudiante de posgrado en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Tongji. Gracias a él por su reseña de "El pequeño libro de cálculo" después de su estudio e investigación. La información detallada del libro "Aprenda cálculo fácilmente" se muestra a continuación, dedicada a usted a quien le gusta el cálculo y el aprendizaje ~

Introducción al contenido

Aprenda cálculo fácilmente.

Autor: Zhuo Yonghong

Una lectura fácil e interesante de cálculo.

Público adecuado: personas interesadas en el cálculo y que quieran aprender sobre cálculo, estudiantes de artes liberales que quieran mejorar sus conocimientos matemáticos, estudiantes a quienes les resulte difícil aprender el cálculo durante la preparación de clases y otros lectores que quieran para aprender sobre cálculo.

Este es un libro que enseña a los lectores cómo comenzar fácilmente con el cálculo. También es un libro fácil y sencillo adecuado para el autoestudio. Aprenda Cálculo fácilmente con un lenguaje ligero y divertido. A través de una gran cantidad de gráficos e imágenes relevantes y específicos, presenta los orígenes de varios conceptos temáticos de cálculo de la manera más vívida posible, conecta perfectamente las matemáticas de la escuela secundaria con las matemáticas avanzadas, intercala la historia de las matemáticas y restaura el contexto del pensamiento matemático. También hay charlas interesantes sobre símbolos matemáticos avanzados, que pueden profundizar la impresión de aprendizaje de los lectores y comprender los entresijos del desarrollo del cálculo. El autor resume muchos años de experiencia en la enseñanza de cálculo, utiliza un lenguaje simple y fácil de entender tanto como sea posible, resume métodos de aprendizaje y reglas prácticas, señala errores comunes y los puntos ciegos de los estudiantes, proporciona habilidades detalladas para la resolución de problemas e intercala múltiples soluciones a cada problema para ampliar sus horizontes y ayudar a los lectores a comprender fácil y felizmente los puntos de conocimiento específicos del cálculo desde una perspectiva superior, lo que permite a los lectores tener una comprensión más clara del cálculo. Este libro presenta especialmente las matemáticas chinas antiguas y los pensamientos matemáticos antiguos, lo que permite a los lectores comprender la contribución de los filósofos chinos antiguos a las matemáticas al tiempo que presenta fácilmente el cálculo.

Contenido del libro

Contenido del libro

Capítulo 1 Límites y continuidad

1.1 El origen del cálculo 1

1.2 Límite de secuencia 5

1.3 Límite de función continua y función 16

1.4 Definición estricta de límite 30

1.4.1 Definición de límite 30

1.4.2 Demostración por definición de límites 35

1.5 Propiedades de funciones continuas 40

1.6 Exponentes naturales y logaritmos naturales 45

1.6 1 Exponente natural 45

1.6.2 Logaritmo natural 48

1.6.3 Usando la definición de E para resolver el límite 49

Charla interesante 1.6.4 e 52

1.7 Sustitución infinitesimal equivalente 56

1.7.1 Introducción a la motivación 56

1.7.2 Graduación infinita 57

1.7. 3 Sustitución infinitesimal equivalente 58

1.8 asíntota 63

1.8.1 Asíntota horizontal 64

1.8.2 Asíntota vertical 66

1.8. 3 Asíntota de pendiente 67

Capítulo 2 Cálculo diferencial

2.1 Definición de derivada 73

2.2 Derivadas de funciones de potencia y funciones derivadas Propiedades de >2.6 Derivadas unilaterales 103

2.7 Derivación de función implícita 111

2.8 Derivación de función inversa 117

2.9 Método de derivada logarítmica 122

2.10 Derivación de parámetros 125

2.11 Diferencia 131

Capítulo 3 Aplicación del cálculo diferencial 135

3.1 Tangentes y normales 135

3.2 Problema de tasa de interés variable 140

3.3 Monotonicidad y concavidad de la función 143

3.3.1 Monotonicidad de la función 143

3.3.2 La concavidad y convexidad de la función 147

3.4 Problema de valores extremos 153

3.4.1 Método de verificación de primer orden 155

3.4.2 Método de verificación de segundo orden 157

3.5 Dibujar gráficas de Funciones 160

3.6 Teorema del valor medio diferencial 165

3.7 Ley de L'Hôpital 170

3.7.1 Ley de L'Hôpital Introducción al uso de 170

3.7.2 Discusión sobre el abuso de la regla de Lópida 176

Capítulo 4 Cálculo integral 181

4.1 Definición del número entero 181

4.2 Básico propiedades de los números enteros 191

4.3 Teorema fundamental del cálculo 196

4.3.1 Teorema fundamental del cálculo Parte 1 196

4.3.2 Teorema fundamental del cálculo Parte 2 200

4.4 Integral indefinida 202

4.5 Región entre curvas 206

Capítulo 5 Habilidades integrales 211

5.1 Integración parcial 211

5.2 Sustitución de variables 217

5.2.1 El primer método de sustitución 217

El segundo método de sustitución 223

5.3 Sustitución trigonométrica 225

5.4 Integral de funciones racionales: método de fracciones parciales 232

5.5 Integral de funciones trigonométricas 243

5.5.1 Potencia trigonométrica de funciones 243

5.5 .2 Expresiones racionales que contienen sin(x) y cos(x) 252

5.5.3 Intercambio inteligente de RMB 254

5.6 Integrales impropias 256

5.6. 1 Integrales anormales de primer tipo (rango integral ilimitado) 256

5.6.2 Integrales anormales de segundo tipo (funciones ilimitadas) 259

5.6

.3 Convergencia y divergencia de integrales anómalas 261

5.7 Charla miscelánea sobre habilidades integrales 265

Capítulo 6 Aplicación del cálculo integral 276

6.1 Longitud del arco de la curva 276

6.2 Encuentra el volumen 283

6.3 El volumen del cuerpo giratorio 287

6.3.1 Método del disco 287

6.3. 2 Método de bombardeo 291

6.4 Área de superficie del cuerpo giratorio 295

Capítulo 7 Funciones especiales 299

7.1 Función hiperbólica 299

7.1.1 Función hiperbólica Definición 299

7.1.2 Fórmula básica de la función hiperbólica 302

7.1.3 Función derivada de la función hiperbólica 306

7.1.4 Antihiperbólica función Función 306

7.6 La función hiperbólica inversa 308 de la función derivada 0.5 de 5438

7.1.6 Aplicación de funciones hiperbólicas en cálculo de primer año 309

7.2 Gamma Función 310

Capítulo 8 Series infinitas 313

8.1 Convergencia y divergencia de series infinitas 313

8.2 Método de convergencia integral 321

8.3 Comparación y método de recopilación 326

8.4 Método de convergencia de razones y método de convergencia de raíces 331

8.5 Método de convergencia de series escalonadas 335

8.6 Suma de convergencia condicional Convergencia absoluta 341

8.7 Series dinámicas 349

Capítulo 9 Propagación de Taylor 356

9.1 Expansión de Taylor: función de aproximación polinómica 356

9.1.1 Expansión de Taylor 356

9.1.2 Método de expansión indirecta 360

9.2 Aplicación de la aproximación polinómica 368

9.3 Teorema de Taylor y resto 373

9.4 Función de suma de potencias Serie 381

Capítulo 65438 00 Coordenadas polares 390

10.1 Introducción a las coordenadas polares 390

10.2 Coordenadas polares 399 Curvas de uso común

10.3 coordenadas polares del área 402

10.4 coordenadas polares de longitud de arco 409

Capítulo 11 Cálculo diferencial de funciones multivariadas 413

11.1 Introducción a las funciones multivariadas 413

11.2 Límites de funciones multivariadas 416

11.3 Derivadas parciales 422

11.4 Diferencia total 429

11.4 .1 Discusiones populares y vagas 56638.86666666661

11.4.2 Discusión teórica de 31

11.5 Regla de la cadena de funciones multivariadas 434

11.6 Derivadas de funciones implícitas 56543.86666666661

11.7 Derivadas gradientes, direccionales y cortes 443

11.7.1 Definición de gradiente 443

11.7.2 Derivadas direccionales 443

11.7.3 Sección 449

Problema de extremos de funciones multivariadas 11.8 450

11.9 Extremo condicional: método del multiplicador de Lagrange 456

Capítulo 12 Integral múltiple 466

12.1 Integral doble 466

12.2 Integral triple 480

Cómo reemplazar 488 con 12.3 Integral múltiple

12.4 Sustitución de coordenadas polares 499

12.5 Sustitución de coordenadas cilíndricas 504

12.6 Sustitución de coordenadas esféricas 508

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