¿Qué es la refutación matemática?

¿El cartel pregunta sobre "paradojas matemáticas"?

"...A lo largo de los tiempos, numerosas paradojas han proporcionado alimento para el desarrollo del pensamiento lógico."

——N. ? En términos generales, se refiere a un proceso de razonamiento que parece razonable pero resulta contradictorio. En muchos casos, las paradojas pueden conducir a proposiciones contradictorias que no cumplen la ley del tercero excluido: de su verdad se puede deducir que es falsa; de su falsedad se puede deducir que es verdadera. Dado que el rigor se reconoce como una característica importante de las matemáticas, la aparición de paradojas en las matemáticas puede generar dudas sobre la confiabilidad de las matemáticas. Si esta paradoja está muy extendida, la onda expansiva será aún más fuerte y las dudas resultantes también desencadenarán una sensación general de crisis en la comprensión de la gente. En este caso, las paradojas a menudo conducen directamente al surgimiento de "crisis matemáticas". Según la costumbre occidental, hasta ahora ha habido tres crisis matemáticas de este tipo en la historia del desarrollo de las matemáticas.

La Paradoja de Hippasos y la Primera Crisis Matemática

El surgimiento de la Paradoja de Hippasos está estrechamente relacionado con el descubrimiento del Teorema de Pitágoras. Entonces, comencemos con el teorema de Pitágoras. El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más famosos de la geometría euclidiana. El astrónomo Kepler la llamó una vez una de las dos perlas brillantes de la geometría euclidiana. Tiene aplicaciones extremadamente amplias en matemáticas y actividades prácticas humanas. También es uno de los primeros teoremas de geometría plana reconocidos por los humanos. En nuestro país, el primer trabajo astronómico y matemático, "Zhou Bi Suan Jing", tiene una comprensión preliminar de este teorema. Sin embargo, la demostración del teorema de Pitágoras llegó relativamente tarde en nuestro país. No fue hasta Zhao Shuang durante el período de los Tres Reinos que se dio la primera prueba mediante el uso de corte y reparación de áreas.

En el extranjero, la primera persona en demostrar este teorema fue Pitágoras de la antigua Grecia. Por lo tanto, en el extranjero se le suele llamar "teorema de Pitágoras". Y se dice que Pitágoras estaba tan feliz después de completar la demostración de este teorema que mató cien reses para celebrarlo. Por lo tanto, este teorema también recibió un título misterioso: "Teorema de los cien Niu".​​

Pitágoras

Pitágoras fue un famoso matemático y filósofo de la antigua Grecia en el siglo V a.C. Una vez fundó una secta mística que combinaba política, academia y religión: los pitagóricos. La famosa proposición "Todo es número" propuesta por Pitágoras es la piedra angular filosófica de esta escuela. "Todos los números pueden expresarse como números enteros o como proporciones de números enteros" es la creencia matemática de esta escuela de pensamiento. Sin embargo, lo dramático es que el teorema de Pitágoras establecido por Pitágoras se ha convertido en el "sepulturero" de las creencias matemáticas de los pitagóricos. Después de que se propuso el teorema de Pitágoras, Hipaso, miembro de su escuela de pensamiento, consideró una pregunta: ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un cuadrado con lado 1? Descubrió que esta longitud no podía representarse mediante un número entero o una fracción, sino que solo podía representarse mediante un nuevo número. El descubrimiento de Hippasos condujo al nacimiento del primer número irracional √2 en la historia de las matemáticas. La aparición del pequeño √2 provocó una gran tormenta en el mundo de las matemáticas en aquel momento. Sacudió directamente la creencia matemática de los pitagóricos y les causó un gran pánico. De hecho, este gran descubrimiento no fue sólo un golpe fatal para los pitagóricos. Esto tuvo un gran impacto en las ideas de todos los antiguos griegos de aquella época. La paradoja de esta conclusión se manifiesta en su conflicto con el sentido común: cualquier cantidad puede expresarse como un número racional dentro de cualquier rango de precisión. Esta afirmación no sólo era generalmente aceptada en Grecia en aquella época, sino que incluso hoy en día, cuando la tecnología de medición está muy desarrollada, ¡esta afirmación es correcta sin excepción! Sin embargo, la conclusión convincente de nuestra experiencia y completamente coherente con el sentido común ha sido anulada por la existencia de un pequeño √2. ¡Qué contraintuitivo y ridículo debería ser esto! Simplemente anula todo lo que sabíamos antes. Lo peor es que no hay nada que la gente pueda hacer ante este absurdo. Esto condujo directamente a una crisis en la comprensión de la gente en ese momento, lo que provocó una gran agitación en la historia de las matemáticas occidentales, conocida en la historia como la "Primera Crisis Matemática".

Eudoxo

Doscientos años después, alrededor del 370 a.C., el talentoso Eudoxo estableció una teoría completa de la proporción. Su propio trabajo se ha perdido y sus resultados se conservan en el quinto volumen de los Elementos de Euclides. El ingenioso método de Eudoxo puede evitar el "escándalo lógico" de los números irracionales y conservar algunas conclusiones relacionadas con ellos, resolviendo así la crisis matemática provocada por la aparición de los números irracionales. Pero la solución de Eudoxo se logró con la ayuda de métodos geométricos y evitando la aparición directa de números irracionales. Esto separa sin rodeos números y cantidades. Según esta solución, el uso de números irracionales está permitido y es legal sólo en geometría, pero ilegal e ilógico en álgebra. En otras palabras, los números irracionales sólo se consideran símbolos simples adjuntos a cantidades geométricas y no se consideran números reales. No fue hasta el siglo XVIII, cuando los matemáticos demostraron que las constantes básicas como pi son números irracionales, que cada vez más personas apoyaron la existencia de números irracionales. En la segunda mitad del siglo XIX, después de que se estableciera la teoría de los números reales en el sentido actual, la naturaleza de los números irracionales quedó completamente aclarada y los números irracionales realmente echaron raíces en el campo de las matemáticas. El establecimiento del estatus legal de los números irracionales en matemáticas no sólo amplió la comprensión humana de los números desde los números racionales hasta los números reales, sino que también resolvió verdadera y completamente la primera crisis matemática.

La paradoja de Berkeley y la segunda crisis matemática

La segunda crisis matemática resultó del uso de herramientas de cálculo. A medida que mejoró la comprensión de la teoría y la práctica científicas, casi al mismo tiempo, en el siglo XVII, Newton y Leibniz descubrieron de forma independiente el cálculo, una herramienta matemática extremadamente avanzada. Tan pronto como salió esta herramienta, mostró su extraordinario poder. Muchos problemas difíciles se han convertido en pan comido después de utilizar esta herramienta. Pero ni Newton ni Leibniz crearon estrictamente la teoría del cálculo. Ambas teorías se basan en el análisis infinitesimal, pero su comprensión y aplicación de cantidades infinitesimales como concepto básico son confusas. Por lo tanto, algunas personas se han opuesto y atacado al cálculo desde su nacimiento. Entre ellos, el ataque más violento fue el del arzobispo británico Berkeley.

Obispo Berkeley

En 1734, bajo el nombre de "El pequeño filósofo", Berkeley publicó un libro con un título largo: "El analista; o un ensayo sobre la unanimidad". por un matemático impío, en el que examina si los objetos, principios y afirmaciones del análisis moderno están más claramente expresados ​​o más claramente razonados que los misterios de la religión y los puntos principales de la fe". En este libro, Berkeley atacó las teorías de Newton. Por ejemplo, acusó a Newton de, para calcular la derivada de x2, por ejemplo, tomar primero un incremento Δx de x que no sea 0, de (x Δx)2 - x2, obtener 2xΔx (Δx2), y luego dividir por Δx, obtenga 2x Δx y finalmente, de repente, sea Δx = 0, y la derivada es 2x. Se trata de "confiar en errores dobles para obtener resultados no científicos pero correctos". Porque a veces se dice que las cantidades infinitesimales son cero en la teoría de Newton, y otras veces se dice que no son cero. Por lo tanto, Berkeley se burló de las cantidades infinitesimales calificándolas de "el fantasma de las cantidades muertas". Aunque el ataque de Berkeley tenía como objetivo defender la teología, realmente captó los defectos de la teoría de Newton y dio en el blanco.

En la historia de las matemáticas, el problema de Berkeley se denomina "paradoja de Berkeley". En términos generales, la paradoja de Berkeley se puede expresar como la pregunta "¿si la cantidad infinitesimal es 0?": en lo que respecta a la aplicación práctica de la cantidad infinitesimal, debe ser al mismo tiempo 0 y no 0. Pero desde una perspectiva lógica formal, esto es sin duda una contradicción. El planteamiento de esta cuestión provocó cierta confusión en la comunidad matemática de la época, lo que desembocó en la segunda crisis matemática.

Newton y Leibniz

En respuesta al ataque de Berkeley, Newton y Leibniz intentaron resolverlo mejorando sus propias teorías, pero ninguno logró el éxito total. Esto coloca a los matemáticos en una posición incómoda. Por un lado, el cálculo ha tenido mucho éxito en su aplicación, pero por otro lado, tiene su propia contradicción lógica, a saber, la paradoja de Berkeley.

En este caso, ¿dónde deberíamos elegir el cálculo?

“¡Avanza, avanza y ganarás la fe!” D'Alembert tocó el cuerno del coraje para seguir adelante, animados por este cuerno, los matemáticos del siglo XVIII comenzaron a trabajar sin importar lo básico. No es estricto y la demostración no es rigurosa, sino que se basa más en la intuición para abrir un nuevo territorio matemático. Como resultado, surgieron, uno tras otro, conjuntos de nuevos métodos, nuevas conclusiones y nuevas ramas. Después de más de un siglo de largo viaje, los esfuerzos de varias generaciones de matemáticos, entre ellos d'Alembert, Lagrange, la familia Bernoul, Laplace y Euler, que combinaron los logros de todos los matemáticos, han producido una cantidad asombrosa y sin precedentes de datos vírgenes. Se cultivó la tierra y la teoría del cálculo adquirió una riqueza sin precedentes. Al siglo XVIII incluso se le llama a veces el "siglo del análisis". Sin embargo, al mismo tiempo, el trabajo tosco y relajado del siglo XVIII también condujo a un número cada vez mayor de falacias, y la dureza de la disonancia comenzó a sacudir los nervios de los matemáticos. A continuación se muestra solo un ejemplo de una serie infinita.

¿A qué es exactamente igual la serie infinita S=1-1+1-1+1...?

En aquella época, la gente creía que por un lado, S=(1-1)+(1-1)+…………=0; 1-1)+(1-1) +…………=1, entonces ¿no es 0=1? Esta contradicción en realidad confundió a matemáticos como Fourier. Incluso Euler, a quien las generaciones posteriores llamaron el héroe de los matemáticos, cometió un error imperdonable. Después de obtener

1 x x2 x3 ..... = 1/(1- x)

, estableció x = -1 y obtuvo

S =1-1+1-1+1......=1/2!

A partir de este ejemplo, no es difícil ver el caos que se produjo en las matemáticas en aquella época. La gravedad del problema radica en el hecho de que casi nadie prestó atención a ninguna de las cuestiones más detalladas del análisis en ese momento, como las series, la convergencia de integrales, el ordenamiento de diferenciales e integrales, el uso de diferenciales de orden superior y la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales. Especialmente a principios del siglo XIX, la teoría de Fourier condujo directamente a la exposición completa de los problemas básicos de la lógica matemática. De esta manera, eliminar la disonancia y restablecer el análisis sobre una base lógica se ha convertido en una tarea urgente para los matemáticos. Hacia el siglo XIX llegó el necesario período de crítica, sistematización y argumentación rigurosa.

Cauchy

El famoso matemático francés Cauchy dio el primer gran paso para hacer más rigurosos los fundamentos del análisis. Cauchy comenzó a publicar varios libros y artículos que hicieron época en 1821. Da definiciones estrictas de una serie de conceptos básicos en análisis. Por ejemplo, comenzó a utilizar desigualdades para describir límites, convirtiendo operaciones infinitas en la derivación de una serie de desigualdades. Ésta es la llamada "aritmetización" del concepto de límite. Posteriormente, el matemático alemán Weierstrass dio un método "ε-δ" más completo que el que utilizamos actualmente. Además, con los esfuerzos de Cauchy también se establecieron sobre una base sólida conceptos como continuidad, derivadas, diferenciales, integrales y sumas de series infinitas. Sin embargo, dadas las circunstancias de aquella época, dado que no se había establecido la teoría estricta de los números reales, la teoría del límite de Cauchy no podía perfeccionarse.

Después de Cauchy, Weierstrass, Dedekind y Cantor llevaron a cabo cada uno su propia investigación independiente y en profundidad y atribuyeron la base del análisis a la teoría de los números reales, y cada uno estableció su propia teoría completa de los números reales en la década de 1970. sistema. La teoría de Weierstrass se puede atribuir al principio de existencia de límites de secuencias acotadas crecientes; Dedekind estableció la famosa partición de Dedekind; Cantor propuso utilizar "secuencias básicas" racionales para definir números irracionales. En 1892, otro matemático creó el "principio del conjunto de intervalos" para establecer la teoría de los números reales. Como resultado, la rigurosa teoría de los límites y la teoría de los números reales establecidas a lo largo del camino abierto por Cauchy completaron la base lógica del análisis. El problema de la no contradicción en el análisis matemático puede resumirse como la no contradicción de la teoría de los números reales, colocando así al cálculo, un edificio majestuoso sin precedentes en la historia de las matemáticas humanas, sobre una base sólida y confiable. Esta importante y difícil tarea de reconstruir los fundamentos del cálculo se completó con éxito gracias a los esfuerzos de muchos académicos destacados. El establecimiento de una base sólida para el cálculo puso fin al caos temporal en las matemáticas y también anunció la resolución completa de la segunda crisis matemática.

La paradoja de Russell y la tercera crisis matemática

En la segunda mitad del siglo XIX, Cantor fundó la famosa teoría de conjuntos. Un ataque violento por parte de muchos. Pero pronto este resultado innovador fue aceptado por la mayoría de los matemáticos y recibió grandes elogios y generalidades. Los matemáticos han descubierto que todo el edificio matemático se puede construir a partir de los números naturales y la teoría de conjuntos de Cantor. La teoría de conjuntos se convirtió así en la piedra angular de las matemáticas modernas. Los matemáticos están embriagados por el descubrimiento de que "todos los resultados matemáticos pueden basarse en la teoría de conjuntos". En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos, el famoso matemático francés Poincaré declaró alegremente: "...Con la ayuda de los conceptos de la teoría de conjuntos, podemos construir todo el edificio matemático... Hoy podemos decir que el rigor absoluto ha sido conseguido ahora..."

Cantor

Sin embargo, los buenos tiempos no duraron mucho. En 1903, salió a la luz una noticia que conmocionó a la comunidad matemática: ¡la teoría de conjuntos era errónea! Ésta es la famosa Paradoja de Russell propuesta por el matemático británico Russell.

Russell construyó un conjunto S: S está formado por todos los conjuntos que no son elementos propios. Entonces Russell preguntó: ¿S pertenece a S? Según la ley del tercero excluido, un elemento pertenece a un conjunto determinado o no pertenece a un conjunto determinado. Por tanto, para un conjunto dado, tiene sentido preguntarse si se pertenece a sí mismo. Pero la respuesta a esta pregunta aparentemente razonable presenta un dilema. Si S pertenece a S, según la definición de S, S no pertenece a S; a la inversa, si S no pertenece a S, según la misma definición, S pertenece a S. Es una contradicción de todos modos.

Russell

De hecho, las paradojas se han descubierto en la teoría de conjuntos antes de Russell. Por ejemplo, en 1897, Braley y Forty propusieron la paradoja ordinal máxima. En 1899, el propio Cantor descubrió la paradoja de la cardinalidad máxima. Sin embargo, debido a que estas dos paradojas involucran muchas teorías complejas en el conjunto, solo causaron una pequeña repercusión en la comunidad matemática y no lograron atraer gran atención. La paradoja de Russell es diferente. Es muy sencillo y cubre sólo los aspectos más básicos de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, la paradoja de Russell causó una gran conmoción en los círculos matemáticos y lógicos de la época tan pronto como fue propuesta. Por ejemplo, G. Frege dijo con tristeza después de recibir la carta de Russell presentando esta paradoja: "Lo más insatisfactorio que le sucede a un científico es que cuando su trabajo está llegando a su fin, sus cimientos se derrumban. Una carta del Sr. Russell me puso en esta posición." Dedekind también pospuso la reedición de su artículo "¿Cuál es la naturaleza y función de los números?". Se puede decir que esta paradoja es como dejar caer una roca en las tranquilas aguas de las matemáticas, y las enormes repercusiones que provocó llevaron a la tercera crisis matemática.

Después de la crisis, los matemáticos han ideado sus propias soluciones. La gente espera poder eliminar las paradojas reformando la teoría de conjuntos de Cantor y restringiendo la definición de conjuntos, lo que requiere el establecimiento de nuevos principios. "Estos principios deben ser lo suficientemente estrechos para garantizar que se eliminen todas las contradicciones; por otro lado, deben ser lo suficientemente amplios para preservar todo el contenido valioso de la teoría de conjuntos de Cantor, basándose en sus propios principios, Zermelo afirmó en 1908 el primero". Se propuso un sistema de teoría de conjuntos axiomático, que luego fue mejorado por otros matemáticos y se denominó sistema ZF. Este sistema de conjuntos axiomático compensa en gran medida las deficiencias de la ingenua teoría de conjuntos de Cantor. Además del sistema ZF, existen muchos sistemas axiomáticos de teoría de conjuntos, como el sistema NBG propuesto por Neumann et al. El establecimiento del sistema de conjuntos axiomático eliminó con éxito las paradojas que aparecían en la teoría de conjuntos, resolviendo así la tercera crisis matemática de forma relativamente satisfactoria. Pero, por otro lado, la paradoja de Russell tiene un impacto más profundo en las matemáticas. Trajo los problemas básicos de las matemáticas a los matemáticos por primera vez en una necesidad más urgente y condujo a la investigación de los matemáticos sobre los fundamentos de las matemáticas. Y nuevos avances en este campo han afectado profundamente a toda la matemática. Por ejemplo, la disputa sobre los fundamentos de las matemáticas ha formado tres escuelas matemáticas famosas en la historia de las matemáticas modernas, y el trabajo de cada escuela ha promovido el gran desarrollo de las matemáticas, etc.

Lo anterior presenta brevemente las tres crisis y cambios matemáticos causados ​​por las paradojas matemáticas en la historia de las matemáticas. A partir de esto, podemos ver fácilmente el enorme papel de las paradojas matemáticas en la promoción del desarrollo de las matemáticas.

Algunas personas dicen: "Hacer una pregunta es la mitad de la solución al problema", y las paradojas matemáticas plantean exactamente las preguntas que los matemáticos no pueden evitar. Les dice a los matemáticos: "¡Resuélvanme o me tragaré su sistema!" Como señaló Hilbert en su artículo "Sobre el infinito": "Hay que admitir que frente a estas paradojas, lo que tenemos actualmente es la situación que tenemos. No se puede tolerar por mucho tiempo que en matemáticas un modelo que pretende ser confiable y veraz, las estructuras conceptuales y los métodos de razonamiento que todos aprenden, enseñan y aplican pueden conducir a consecuencias incluso irracionales. el pensamiento falla, entonces ¿dónde encontrar confiabilidad y verdad? "La aparición de la paradoja obliga a los matemáticos a dedicar su mayor entusiasmo a resolverla. En el proceso de resolución de la paradoja surgieron varias teorías: la primera crisis matemática condujo al nacimiento de la geometría y la lógica axiomáticas; la segunda crisis matemática condujo a la mejora de las teorías analíticas básicas y la creación de la teoría de los tres conjuntos; Las crisis contribuyeron al desarrollo de la lógica matemática y al surgimiento de varias matemáticas modernas. Como resultado de ello, las matemáticas se han desarrollado vigorosamente. Éste puede ser el significado de las paradojas matemáticas.