[Notas de lectura] Apreciación y descubrimiento de las matemáticas
Editado por Yu
La primera sección va desde la raíz cuadrada 2 hasta la paradoja de Barbour.
1. La aparición de la raíz cuadrada de 2: la primera crisis matemática
Los diez "hermosos teoremas": el teorema de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional ocupa el séptimo lugar, seguido de " π es un número trascendental", el teorema de los cuatro colores y una conclusión del gran matemático Fermat.
Pitágoras (alrededor de 580 a. C. - 500 a. C.)
El antiguo geómetra griego Euclides demostró que la raíz del número 2 es un número irracional.
Hermano Pitágoras: Es el fundador de la "filosofía" y las "matemáticas". El primero significa "interés intelectual" y el segundo significa "conocimiento que se puede aprender". La visión central de los pitagóricos es que "todo es número", es decir, todo en el universo puede rastrearse hasta números enteros o proporciones de números enteros. Esta escuela descubrió el teorema de Pitágoras, pero también desencadenó la primera crisis matemática.
2. Si lo infinitesimal es cero: la segunda crisis matemática
El cálculo fundado por Newton y Leibniz se basa en lo infinitesimal, pero ¿qué tan pequeño es el paño de lana? Cuando Newton deducía, usaba el número infinitesimal como denominador y luego truncaba el número infinitesimal. ¿Es ese cero infinitesimal? Si es cero, no se puede utilizar como denominador y si no es cero, no se puede truncar. Este es un lugar inexacto en el cálculo.
1734 fue cuestionado por George Bekele, el pionero de la filosofía idealista subjetiva, lo que desembocó en la segunda crisis matemática.
Este debate continuó hasta el siglo XIX. Cien años después, la teoría del límite establecida por el famoso matemático francés Cauchy y más tarde por Weierstrass, Dedekind, Cantor y otros sentó una base lógica estricta para la teoría del cálculo.
3. La paradoja de Barber: la tercera crisis matemática
En la segunda mitad del siglo XIX, Cantor fundó la famosa teoría de conjuntos, que finalmente estabilizó el edificio de la ciencia matemática.
Sin embargo, el filósofo británico Bertrand Russell llegó a una conclusión: la teoría de conjuntos no es absolutamente estricta, sino defectuosa. Por ejemplo, si un barbero quiere cortarle el pelo a una persona que no se corta el suyo, ¿debería cortarse el pelo él mismo? Si no te cortas el pelo, entonces deberías hacerlo si calificas. Si puedes cortarte el pelo y no calificas, no deberías cortarte el pelo.
Sección 2: De Euclides a Lobachevsky
1. Euclides y "Elementos de Geometría"
"Elementos de Geometría" Es una obra escrita por Euclides en del siglo III a.C. y se la conoce como la "Biblia de las Matemáticas".
Tres primeros matemáticos de la escuela alejandrina en la antigua Grecia: Euclides, Apolonio y Arquímedes.
Gauss (siglo XIX) es reconocido como el “Rey de los Matemáticos” después de Newton. La existencia de una geometría no euclidiana (que puede probar el axioma de las paralelas) fue descubierta, pero no propuesta.
2. Lobachevsky y la geometría no euclidiana
Se cree generalmente que los fundadores de la geometría no euclidiana son Lobachevsky y Bolyo.
La diferencia esencial entre la geometría de Roche y la geometría euclidiana radica en sus diferentes axiomas de paralelas.
La geometría Flo también incluye la geometría riemanniana.
Riemann fue un discípulo cercano de Gauss.
El científico alemán Klein dio una explicación unificada para la geometría no euclidiana: la geometría euclidiana se llama "geometría parabólica" y la geometría de Roche se llama "geometría hiperbólica" (la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor de 180 grados), la geometría de Riemann se llama "geometría elíptica" (la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor de 180 grados).
El idealismo de Kant.
La historia del descubrimiento de la geometría no euclidiana es también la historia de la lucha entre el materialismo y el idealismo en geometría.
Sección 3: Del Teorema de Pitágoras a la Conjetura de Fermat
El Teorema de Pitágoras, también conocido como Teorema de Pitágoras, es conocido como la “Perla de la Geometría” y “Eterna El primer teorema ".
Pitágoras demostró el teorema de Pitágoras.
China demostró el Teorema de Pitágoras en el "Shang Gao" de la dinastía Zhou Occidental, más de 500 años antes que Occidente.
1. Demostración del teorema de Pitágoras
Método de Zhao Shuang:
El premio más alto en matemáticas: Medalla Fields
2, Algebraico investigación sobre el teorema de Pitágoras
En la expresión unificada del número de Pitágoras se utiliza generalmente la siguiente fórmula:
En el siglo XVII, la conjetura de Fermat:
x Para ecuaciones de la forma ^ n+y ^ n = z ^ n, cuando n > 2, no se puede encontrar un conjunto de soluciones enteras positivas.
Euler demostró que cuando n=4 y 3, no hay solución entera positiva.
El matemático británico Andrew Wiles finalmente demostró la conjetura de Fermat en 1995.
Sección 4: De Zhouyi Bagua a los números binarios
Leibniz fue un erudito enciclopédico que inventó el cálculo y el sistema binario.
"El Libro de los Cambios" dice: El Tai Chi produce dos instrumentos, dos instrumentos producen cuatro imágenes y cuatro imágenes producen Bagua. Kun, Gen, Kan, Xun, Zhen, Li, Hui, Gan. El "estado apagado" está representado por 0.
Sección 1 Números perfectos y números de afinidad
En 1903, Cauchy publicó un informe académico, 2 67-1 = 193707721x 761838257287, porque negaba "2 67-1. La conjetura de Mersenne es negado.
2 P-1 (P es un número primo) se llama primo de Mersenne en teoría de números. Básicamente, los números primos grandes encontrados son primos de Mersenne. llamados números primos.
En primer lugar, un número perfecto
Un número es igual a la suma de todos sus factores (excluido él mismo), como por ejemplo 6=1+. 3, luego 28 también (Extensión: La luna orbita la tierra durante 28 días. Hay seis artes en la antigua China: etiqueta, música, tiro con arco, castidad, escritura y conteo. Qin Shihuang usó seis como número de países, y hay 28 estrellas en el cielo.)
Si 2 n-1 es un número primo, entonces el número natural 2 (n-1) x (2 n-1) debe ser un número perfecto de Euclides. demostró esta proposición y dio lo siguiente Números perfectos cuando n=2, 3, 5, 7
El antiguo matemático griego Nicómaco dividió los números naturales en tres categorías: números perfectos, números abundantes y números deficientes: iguales. a todos sus verdaderos factores un número natural cuya suma se llama número perfecto, un número natural que es mayor que la suma de todos sus verdaderos factores se llama número de abundancia, y un número natural que es menor que la suma de todos sus verdaderos factores. Los factores verdaderos se llaman número deficitario.
Incluso un número perfecto corresponde a eso. La esencia de los primos de Mersenne.
En segundo lugar, el número de afinidad.
La suma de. todos los factores verdaderos de 220 son 284, y la suma de todos los factores verdaderos de 284 es 220. Si llama a estos dos números "el número de parientes" o "el número de amigos". los dos números naturales es la suma de los verdaderos factores del otro número, entonces los dos números son los Números de afinidad
En 1636, Fermat descubrió el segundo par de números de afinidad, 17296 y 18416. años más tarde, Descartes descubrió el tercer par de números de afinidad: 9437056 y 9363584.
En 1747, Euler enumeró directamente 61 pares de números de afinidad, aunque dos pares estaban equivocados.
Miles de pares de parientes estaban equivocados. Más tarde se encontró.
Con el nacimiento de las computadoras electrónicas, se descubrió que solo hay 42 pares de números naturales por debajo de 1 millón, y solo 13 pares por debajo de 1 millón.
Sección 2. Números primos de Mersenne
Hay infinitos números primos de Mersenne
1. Exploración dura en la era del cálculo con papel y lápiz.
En la era. del cálculo con papel y lápiz, solo se encontraron 12 números primos de Mersenne
2. Un gran avance de la era
Anuncia el proyecto Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). 51 primos de Mersenne (2 82589933-1) en 2018, que es el número primo más grande descubierto hasta ahora
En tercer lugar, conclusión
Encontrar los primos de Mersenne ayuda a mejorar los algoritmos de cifrado informático tradicionales <. /p>
Sección 3 El número de Narciso y Capriega
Número de Narciso: el nombre tradicional es "número de regresión cúbica" o "número de autopoder" 153=1^3+5^3+ 3^3
Si un número natural de n dígitos es igual a la potencia de cada dígito, la suma se llama número de regresión de n-ésimo grado de n dígitos.
Número de flores de durazno: 1634 = 1 4+6 4+3 4+4 4.
Algunas personas lo llaman número de flor o número de flor.
En 1986, el profesor de matemáticas Anthony Dilana demostró que los números de N dígitos sólo pueden retroceder un máximo de 60 dígitos.
Segundo, el número de Capuleto
Dividimos un número en dos mitades (si es impar rellenamos el bit alto con 0), lo sumamos y lo elevamos al cuadrado. , será exactamente el número original. Estos números se denominan "números de suma de Cabulit" o "números de trueno", también llamados "números de reconstrucción al cuadrado". Estos números son 2025, 3025, 9801, etc.
(x+y)^2 = 100x+y
El número mínimo de Capuleto es 81 ((8+1) 2 = 81).
El tesoro en la esquina del cuarto trimestre
1. El número más misterioso 142857
1/7 = 0,142857...
Después de multiplicar el número 142857 de 1 a 6, aparece un cuadrante de ciclo numérico.
Segundo, palíndromo
Leer de izquierda a derecha es exactamente lo mismo que leer de izquierda a izquierda.
1234567987654321 veces se llama número de oliva, que también es un número cuadrado completo.
En tercer lugar, la cantidad de autocontrol
La mantisa del cuadrado es igual al número mismo. Estos números se llaman números automórficos, como 25x25=625.
En cuarto lugar, el número más desafortunado es el 13.
En Oriente, el 13 es un número de la suerte. Las trece sectas del budismo fueron introducidas en China, representando la perfección del mérito y la virtud; el Palacio Potala tiene 13 pisos y la Pagoda Tianning tiene 13 pisos.
Pero en los países occidentales, la gente le tiene más miedo al número 13. Judas, discípulo de Jesús, traicionó a Jesús y 13 personas asistieron a la Última Cena. La fecha de la cena coincidió con el día 13, que trajo sufrimiento y desgracia a Jesús. Por lo tanto, el hotel no tiene un piso 13 y el aeropuerto no tiene una puerta de embarque 13.
5. Extrañas sumas idempotentes
Las sumas de las potencias de los siguientes dos conjuntos de números son iguales:
De la suma de potencias cero a la suma de ocho potencias, todas son iguales, pero el fenómeno de que la suma de la novena potencia es igual a los dos conjuntos de números desaparece.
En 1900, el matemático Hilbert propuso 23 famosos problemas no resueltos de matemáticas, conocidos como "problemas de Hilbert".
En el año 2000, el Instituto Clay de Matemáticas de Estados Unidos propuso los "Siete Problemas Matemáticos del Milenio" (un premio de 654,38 dólares + 00.000 dólares).
Sección 1 Teorema de la Matemática Estética: Fórmula de Euler y Serie de Basilea
1. Fórmula de Euler
Segundo, Serie de Basilea
Calcula exactamente la suma de los recíprocos de los cuadrados de todos los números naturales distintos de cero. El resultado del argumento de Euler lleva el nombre de la ciudad natal de Euler, Basilea, Suiza. Este argumento utiliza la serie de Maclaurin.
La generalización de la serie de Basilea produjo la Hipótesis de Riemann:
Los puntos cero de esta función, excepto s=-2, -4, -6... están todos distribuidos en el plano complejo Sobre la recta cuya parte real superior es 1/2.
La contraseña de la evolución del universo: la sección áurea y la secuencia de Fibonacci
En primer lugar, la sección áurea
A partir de Pitágoras, para cualquier dado Para el segmento de línea AB, encuentre un punto C en él y divídalo en dos líneas por el punto C, de modo que la relación entre la longitud del segmento de línea más largo y la longitud de toda la línea sea igual a la relación del segmento de línea más corto segmento de recta al segmento de recta más largo. La relación es (/√5-1)/2, que es aproximadamente 0,618.
En segundo lugar, la omnipresente sección áurea
La línea de 30° de latitud norte atraviesa las cuatro civilizaciones antiguas.
El ombligo, la garganta, las rodillas y los codos son las cuatro partes clave de la supervivencia humana.
Nos sentimos más cómodos entre 22 y 24 ℃, porque el producto de la temperatura corporal normal de 37 ℃ y 0,618 es 22,9 ℃.
Utilizado en edificios: Partenón, Taj en el Mausoleo de la India , Notre Dame de París y la Torre Eiffel en Francia.
La Mona Lisa de Da Vinci y el Hombre de Vitruvio.
Pentagrama y pentágono regular.
En tercer lugar, la secuencia de Fibonacci
Los pétalos del girasol son 21, 34 y 55. Estos números están relacionados con la secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 8, 13, 21, 34, 55. ....
"Problema de reproducción del conejo"
La secuencia de Fibonacci está intrínsecamente ligada a la sección áurea. Los dos números de secuencia de Fibonacci adyacentes cambian entre sí. El aumento se acerca gradualmente a la. proporción áurea.
Rectángulo Áureo: La longitud de los lados del nuevo cuadrado es igual a la suma de las longitudes de los lados de los dos cuadrados más cercanos.
La tercera sección es una obra representativa de las matemáticas orientales: El teorema del resto de China
El "Teorema del resto chino" (también llamado Teorema de Sun Tzu) es un teorema básico de la teoría de números, similar El teorema de Wilson y el teorema de Euler y el último teorema de Fermat son tan famosos como los cuatro teoremas de la teoría de números.
Proviene del cálculo de Sun Tzu, es decir, cuando un número entero se divide por 3, el resto es 2. Si se divide por 5, el resto es 3. Si se divide por 7, el resto es 2. Encuentra este número entero. (La respuesta es 105n+23)
Solución: 70 x2+21x 3+15x 2-105n
Los "Nueve capítulos" de Qin dan una declaración general: "Da Desarrolla y busca habilidades .”
El mando de tropas de Han Xin es un ejemplo representativo de problemas similares.
Sección 4 Matemáticas Monte Everest: La conjetura de Goldbach
“La reina de las ciencias naturales son las matemáticas, la corona de las matemáticas es la teoría de números y la conjetura de Goldbach es la joya de la corona.
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Número primo (también llamado número primo): Un número que solo se puede dividir por 1 y por sí mismo.
"Cualquier número par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos."
Matemático alemán Goldbach.
2. La ardua exploración de la conjetura de Goldbach
“Estrechando el cerco”
En 1966, después de siete años de arduo trabajo, Chen Jingrun demostró que “1 +2”: Todo número par suficientemente grande es el producto de un número primo más no más de otros dos números primos.
Apéndice de este capítulo
1. La fórmula matemática más hermosa:
El genio matemático indio Ramanujan descubrió:
2. Conjetura de los números primos gemelos"
"Conjetura de los números primos gemelos": Hay infinitos números primos P, por lo que p+2 también es un número primo.
Chen Jingrun dio la prueba.
Conjetura de los tres o cuatro colores
Los matemáticos estadounidenses pasaron 1.200 horas frente al ordenador y realizaron 100 mil millones de juicios para verificar la conjetura.
En 2016, Yu Chengren de la Sociedad Matemática de Jilin utilizó métodos matemáticos para demostrar uno de los tres principales problemas matemáticos del mundo, el "teorema de los cuatro colores".
Sección 1: La connotación, significado y nivel de la resolución de problemas matemáticos
La resolución de problemas matemáticos recorre todo el proceso de aprendizaje de las matemáticas.
Fórmula de suma de secuencias aritméticas:
Sección 2: Resolver problemas para el descubrimiento
Primero, buscar la diversificación de las soluciones de resolución de problemas
Dos, perseguir la optimización de las soluciones de resolución de problemas
Tercero, perseguir el problema del pensamiento generativo
La primera sección detalla la extraña flor en el bosque: la cigarra dorada escapa de su caparazón.
Primero, la cigarra dorada emerge de su caparazón y permanece allí hasta la muerte.
Para dos conjuntos de números, las sumas son iguales y las sumas de los cuadrados son iguales. Borre de izquierda a derecha o de derecha a izquierda al mismo tiempo, las propiedades permanecen sin cambios.
La suma de las potencias de los dos conjuntos de números es igual.
En segundo lugar, construya una matriz de suma idempotente
Puede generar una nueva matriz a partir de una matriz conocida.
Sección 2 Juego del granizo
1. Serie Shizuo Kakutani
Si es un número par, se convierte en m/2; se convierte en 3m +1. Repita esta operación y el último número será 1 sin excepción.
2. Serie "123"
Escribe cualquier número natural, escribe el número de números pares, impares y enteros, repite esta operación y finalmente obtienes 123.
3. Serie "6174"
El matemático indio Capriega descubrió que al escribir un número de cuatro dígitos y ordenarlo de mayor a menor, obtendrás un número y ordenarlo. de menor a menor. Para obtener otro número, reste los dos números (reduzca el número mayor) y repita la operación. El número final es 6174.
Tercera parte: Observación y experimentación en el descubrimiento matemático
1. Observación científica y experimento científico
2. >Sección 1 Problemas de cuadrados mágicos y sumas idempotentes
"Luo Shu"
Cada pequeño círculo en Luo Shu puede representar un 1, escrito en forma de números de la siguiente manera:
Este es un cuadrado mágico de tercer orden. La suma de los tres números en cada fila, columna y diagonal de la figura es 15.
Un método sencillo para construir cualquier cuadrado mágico de orden impar (el método de la escalera inventado por Lauber);
1. Un cubo mágico de tres órdenes con ricas connotaciones.
Los cuadrados mágicos tienen una misteriosa conexión interna con la idempotencia y la existencia de matrices. La suma de los cuadrados de la primera y tercera columnas de la Figura 6-2 es igual.
Un nuevo método para generar matrices de suma idempotentes;
En segundo lugar, un interesante cuadrado mágico de cuarto orden
Un famoso cubo mágico de cuarto orden es el Taipei indio El Cubo de Rubik en el Monumento del Templo del Cielo:
La suma de las diagonales de cada fila y columna es 34. Si dibujas un cuadrado al azar, la suma de los cuatro números de las cuatro esquinas También será 34. Lo que es aún más sorprendente es que si mueves las filas (o columnas) al otro lado, la disposición positiva resultante sigue siendo un cubo de Rubik, como se muestra en la Figura 6-4.
3. El infinitamente encantador cubo de Rubik de orden N
Sección 2: Descubrimiento de la fórmula del volumen tetraédrico
La fórmula de un triángulo es
S =(1/2)xaxh
o
S=(1/2)xaxbxsinθ
La fórmula del volumen de un tetraedro es
V=(1/3)xSxh
Entonces, ¿el tetraedro tiene una segunda expresión similar a la fórmula del área del triángulo?
Dados dos lados adyacentes A y B de un triángulo, el lado opuesto es C, el ángulo entre los dos lados adyacentes del triángulo es:
cosθ = (a ^2+ b^2-c^2)/2ab
Tercera parte: Inducción y analogía en el descubrimiento matemático
El razonamiento se considera un elemento importante de la alfabetización matemática básica.
El razonamiento generalmente se divide en razonamiento perceptivo y razonamiento deductivo. El proceso de autoconstrucción de gran parte del conocimiento matemático es a menudo un proceso de "adivinar primero y demostrar después". "Adivinar" es un razonamiento razonable, que se refleja en métodos de razonamiento como la inducción y la analogía. "Prueba" es un razonamiento deductivo, también llamado razonamiento argumentativo.
Primero, el razonamiento inductivo, el razonamiento analógico y el razonamiento deductivo.
El razonamiento inductivo es el razonamiento de lo específico a lo general. La inducción generalmente se puede dividir en inducción incompleta e inducción completa.
El razonamiento analógico es el razonamiento de particular a particular, también conocido como “analogía”.
El razonamiento deductivo es el razonamiento de lo general a lo específico.
2. El razonamiento inductivo en el descubrimiento matemático
Una vez que un problema matemático se asocia con números primos, puede convertirse en un objeto de investigación significativo.
Conjetura de Goldbach: Cualquier número par mayor que 4 se puede expresar como la suma de dos números primos impares.
"Teorema del cuadrante" de Baschet: Cualquier número natural sólo puede representarse por la suma de los cuadrados de uno, dos, tres o cuatro. (Excepto 7=4+1+1+1, que debe expresarse como la suma de cuatro cuadrados).
Números primos de Fermat:
Fermat propuso esta conjetura en 1640, pero fue rechazada por Euler en 1732 porque no se cumple cuando n=5.
Tercero, el razonamiento analógico en los descubrimientos matemáticos
Sección 1 Teorema de Steiner-Reimers
En "Elementos de geometría" se menciona que isósceles Las bisectrices de los dos Los ángulos de la base de un triángulo tienen la misma longitud.
Remo propuso lo contrario de esta proposición: un triángulo con dos bisectrices interiores iguales es un triángulo isósceles.
El primero en responder a esta pregunta fue el geómetra suizo Steiner.
Número promedio de personas en el segundo trimestre
Dado cualquier número natural, realiza las siguientes operaciones:
(1) Primero calcula su número al cuadrado;
(2) Divide el número cuadrado en dos partes para obtener dos nuevos números;
(3) Suma o resta los dos números divididos.
Si el resultado es un número cuadrado completo, el número original se llama número cuadrado. Por ejemplo, 49:49 ^ 2 = 2401-> 24+01=25=5^2
Si el número n del número A es un número par e impar, y 10 A-n también es un número impar y número par, entonces 10 A-n son números pares e impares simétricos de n ... como 51 y 49.
La tercera parte trata: generalización y especialización en los descubrimientos matemáticos.
Teorema del hexágono de Pascal: Si un hexágono está inscrito en una curva cuadrática (círculo, elipse, hipérbola, parábola), entonces los puntos de intersección de sus tres pares de lados opuestos están todos en la misma recta.
Sección 1: Una buena educación requiere buenos profesores
Los cuatro estándares de un buen profesor: ideales y creencias, sentimientos morales, conocimientos sólidos y amabilidad.
Existe una diferencia esencial entre el deseo de conocimiento y el deseo de exploración. La curiosidad es la necesidad interna del alumno de aprender conocimientos, y la retirada es la admiración por la acumulación de experiencia previa; el deseo interno de comprender el mundo desconocido, y la retirada es el desarrollo del mundo desconocido.
Sección 2 Enseñanza por descubrimiento: Buscando una manera de enseñar conocimientos matemáticos
Mito: El conocimiento lo determina todo, pero también debes prestar atención a si entiendes y si eres bueno pensando. .
Enseñar para descubrir: encontrar una salida en la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos
La teoría de los números ideales, una nueva rama de las matemáticas, se beneficia de la exploración de la conjetura de Fermat.
El problema de los siete puentes de Ginsburg se convirtió en la fuente de la teoría de grafos, y el estudio de los números primos de Mersenne también promovió la revolución en la tecnología informática.
Paradojas y soluciones: (1) La paradoja infinita de Zenón; (2) La paradoja del Mentiroso; (3) Sobre la resolución de contradicciones.
La conjetura de Goldbach, conocida como la "joya de la corona de las matemáticas", aún no se ha deducido.
Serie McLaughlin:
Cada vez más matemáticos parecen estar más interesados en la Hipótesis de Riemann.
2 es el número primo más pequeño (también llamado número primo) y el único número primo par.
Fin