¿Qué es la paridad?

La paridad es una de las propiedades básicas de las funciones.

Generalmente, si f(-x)=f(x) existe para cualquier x en el dominio de la función f(x), entonces la función f(x) se llama función par.

Generalmente, si f(-x)=-f(x) existe para cualquier x en el dominio de la función f(x), entonces la función f(x) se llama función impar.

Nombre chino: paridad

Nombre extranjero: paridad

Categoría: Propiedades de funciones

Funciones impares: centralmente simétricas con respecto al origen Gráfico

Función par: La gráfica es simétrica con respecto al eje de y

Propósito: Juzgar la monotonicidad de la función

Definición

Supongamos que la función f (dominio D de x);

⑴Si para cualquier x en el dominio de función D, f(-x)=-f(x), entonces la función f(x) se llama impar función.

⑵ Si f(-x)=f(x) existe para cualquier x en el dominio de función D, entonces la función f(x) se llama función par.

⑶ Si para cualquier x en el dominio de la función D, f(-x)=-f(x) y f(-x)=f(x) son simultáneamente verdaderas, entonces la función f(x ) es tanto una función impar como una función par, y se llama función par e impar.

⑷Si f(-x)=-f(x) o f(-x)=f(x) no se puede establecer para ningún x en el dominio de la función, entonces la función f(x) Una función que no es par ni impar se llama función par o impar.

Explicación: ① La impar y la uniformidad son las propiedades generales de la función, para todo el dominio de definición.

②El dominio de las funciones pares e impares debe ser simétrico con respecto al origen. Si el dominio de una función no es simétrico con respecto al origen, entonces la función no debe ser una función par (ni impar).

(Análisis: Para determinar la paridad de una función, primero se verifica si su dominio es simétrico con respecto al origen, y luego se simplifica, organiza y compara con f(x) estrictamente de acuerdo con la definición de imparidad y uniformidad. Sacar una conclusión)

③La base para juzgar o demostrar si una función tiene paridad es la definición y la variación.

Variación: impar: f(x)+f(-x)=0; f(x)*f(-x)=-f^2(x); -x)=-1.

Par: f(x)-f(-x)=0; f(x)*f(-x)=f^2(x); )/f(-x)=1.

Características de la imagen

Teorema: La imagen de una función impar se convierte en una figura centralmente simétrica con respecto al origen, y la imagen de una función par es simétrico con respecto al eje y.

Corolario: Si para cualquier x, hay f(a+x)+f(b-x)=c, entonces la imagen de la función es simétrica con respecto al centro de (a/2+b/2, c /2) ;

Si para cualquier x, f(a+x)=f(a-x), entonces la imagen de la función es simétrica con respecto al eje x=a.

La gráfica de la función impar es simétrica con respecto al origen

Punto (x, y) → (-x,-y)

La gráfica de la la función par es simétrica con respecto al eje y

Punto (x, y) → (-x, y)

Si una función impar aumenta monótonamente en un intervalo determinado, es también aumenta monótonamente en su intervalo simétrico[3].

Si una función par aumenta monótonamente en un intervalo determinado, disminuye monótonamente en su intervalo simétrico.

Operación

⑴ La suma obtenida al sumar dos funciones pares es una función par.

⑵ La suma de dos funciones impares es una función impar.

⑶ El producto de dos funciones pares es una función par.

⑷ El producto de dos funciones impares es una función par.

⑸El producto de una función par multiplicado por una función impar es una función impar.

⑹ Cuando se componen varias funciones, siempre que una de ellas sea una función par, el resultado es una función par; si no hay una función par, el resultado es una función impar.

⑺La suma, la diferencia y el cociente producto de una función par es una función par.

⑻La suma y diferencia de funciones impares son funciones impares.

⑼El cociente producto de un número par de funciones impares es una función par.

⑽El producto cociente de un número impar de funciones impares es una función impar.

⑾El valor absoluto de una función impar es una función par.

⑿El valor absoluto de una función par es una función par.

Juzgar la monotonicidad

La monotonicidad de funciones pares en intervalos simétricos es opuesta.

La monotonicidad de las funciones impares es consistente en todo el dominio.

Advertencia de malentendido

Al juzgar la paridad de una función, primero debes verificar si su dominio es simétrico con respecto al origen. Para que una función sea par o impar, su dominio debe ser simétrico con respecto al origen.

Números pares e impares

Un número satisface xmod2=1, entonces es un número impar;

Un número satisface xmod2=0, entonces es un número par.

Nota: mod significa resto. Por ejemplo: m=xmod2, si x=7, m=1