Solución de fórmula para ecuación cuadrática de una variable

1. Puntos clave de conocimiento:

Las ecuaciones cuadráticas y las ecuaciones lineales son ecuaciones integrales. Son un contenido clave de las matemáticas de la escuela secundaria y también son importantes para. aprender matemáticas en el futuro.

Los conceptos básicos deben atraer la atención de los estudiantes.

La forma general de una ecuación cuadrática es: ax2 bx c=0, (a≠0), que contiene solo un número desconocido, y el grado más alto del número desconocido es 2.

La ecuación completa.

La idea básica para resolver una ecuación cuadrática es simplificarla en dos ecuaciones cuadráticas. Hay cuatro soluciones para una ecuación cuadrática.

Métodos: 1. Método de raíz cuadrada directa; 2. Método de emparejamiento; 3. Método de fórmula; 4. Método de descomposición factorial.

2. Descripción detallada de métodos y ejemplos:

1. Método de raíz cuadrada directa:

El método de raíz cuadrada directa es un método para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable usando raíces cuadradas directas. Utilice el método de la raíz cuadrada directa para resolver (x-m)2=n (n≥0).

Resuelve la ecuación como x = m.

Ejemplo 1. Resuelva la ecuación (1)(3x 1)2 = 7(2)9 x2-24x 16 = 11.

Análisis: (1) Esta ecuación es obviamente fácil de resolver usando el método de aplanamiento directo (2) El lado izquierdo de la ecuación es completamente plano (3x-4)2 y el lado derecho = 11. >0, entonces

Esta ecuación también se puede resolver usando el método de raíz cuadrada directa.

(1) Solución: (3x 1)2=7×

∴(3x 1)2=5

∴ 3x 1 =(Ten cuidado de no perder Solución)

∴x=

∴La solución de la ecuación original es x1=, x2=.

(2) Solución: 9 x2-24x 16 = 11.

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=

∴x=

∴Solución del original ecuación Es x1=, x2=.

2. Método de coincidencia: utilice el método de coincidencia para resolver la ecuación ax2 bx c=0 (a≠0).

Primero, mueve la constante c al lado derecho de la ecuación: AX2 BX =-C

Convierte el término cuadrático a 1: x2 x =-

Suma la mitad del cuadrado del coeficiente de primer orden a ambos lados de la ecuación: x2 x ( )2=- ( )2.

El lado izquierdo de la ecuación se vuelve completamente plano: (x )2=

Cuando b2-4ac≥0, x =

∴x= (Este es la fórmula radical)

Ejemplo 2. Usa el método de emparejamiento para resolver la ecuación 3x2-4x-2=0

Solución: mueve el término constante al lado derecho de la ecuación 3x2-4x=2.

Convierte el coeficiente del término cuadrático a 1: x2-x =

Suma la mitad del cuadrado del coeficiente del término de primer orden a ambos lados de la ecuación: x2-x ( )2 = ( )2 .

Fórmula: (x-)2=

Cuadrado directo: x-=

∴x=

La solución del original la ecuación es x1=, x2=.

3. Método de fórmula: convierte la ecuación cuadrática a una forma general y luego calcula el valor del discriminante △=b2-4ac. Cuando b2-4ac≥0, coloque todos los elementos.

Sustituye los valores de los coeficientes A, B y C en la fórmula x=(b2-4ac≥0) para obtener las raíces de la ecuación.

Ejemplo 3. Usa el método de la fórmula para resolver la ecuación 2x2-8x=-5

Solución: cambia la ecuación a su forma general: 2x2-8x 5=0.

∴a=2, b=-8, c=5

B2-4ac = (-8)2-4×2×5 = 64-40 = 24 gt; 0

∴x= = =

Las soluciones de la ecuación original son x1=, x2=.

4. Método de factorización: Transformar la ecuación en una forma con un lado igual a cero, y descomponer el trinomio cuadrático del otro lado en el producto de dos factores lineales, de modo que,

Los dos factores lineales son iguales a cero respectivamente, lo que da como resultado dos ecuaciones lineales. Las raíces obtenidas al resolver estas dos ecuaciones lineales son dos de las ecuaciones originales.

Raíz. Este método de resolver una ecuación cuadrática se llama factorización.

Ejemplo 4. Resuelve la siguiente ecuación factorizando:

(1)(x 3)(x-6)=-8(2)2 x2 3x = 0

(3) 6x2 5x - 50=0(investigación opcional)(4)x2-2( )x 4=0(investigación opcional)

(1) Solución: (x 3)(x-6)=-8 Simplifique la clasificación.

X2-3x-10=0 (el lado izquierdo de esta ecuación es un trinomio cuadrático y el lado derecho es cero).

(x-5)(x 2)=0 (factorizando factores en el lado izquierdo de la ecuación)

∴x-5=0 o x 2=0 (convertido a Dos ecuaciones lineales)

∴x1=5, x2=-2 es la solución de la ecuación original.

(2) Solución: 2x2 3x=0

X(2x 3)=0 (factoriza el lado izquierdo de la ecuación elevando el factor común)

∴x=0 o 2x 3=0 (convertido en dos ecuaciones lineales)

∴x1=0, x2=- es la solución de la ecuación original.

Nota: Algunos estudiantes tienden a perder la solución de x=0 al realizar este tipo de problemas. Cabe recordar que existen dos formas de resolver una ecuación cuadrática.

(3) Solución: 6x2 5x-50=0

(2x-5)(3x 10)=0 (Al factorizar mediante multiplicación cruzada, se debe prestar especial atención a la signo)

2x-5 = 0 o 3x 10=0.

∴x1=, x2=- es la solución de la ecuación original.

(4) Solución: x2-2( )x 4 =0 (∵4 se puede descomponer en 2.2, ∴Esta pregunta se puede factorizar).

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2, x2=2 es la solución de la ecuación original.

Resumen:

Generalmente, la factorización es el método más común para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Cuando se aplica la factorización, la ecuación primero debe escribirse en forma general.

Forma, al mismo tiempo, el coeficiente cuadrático debe convertirse en un número positivo.

El método del cuadrado directo es el método más básico.

El método de fórmula y el método de colocación son los métodos más importantes. El método de la fórmula es aplicable a cualquier ecuación cuadrática de una variable (algunos lo llaman método universal). Cuando se usa una fórmula,

En este método, para determinar los coeficientes, la ecuación original debe transformarse a una forma general y el valor del discriminante debe calcularse antes de usar la fórmula para juzgar la ecuación.

¿Hay solución?

El método de comparación es una herramienta para derivar fórmulas. Después de dominar el método de fórmula, puede utilizar directamente el método de fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. Generalmente, no es necesario utilizar el método de comparación.

Resolver ecuaciones cuadráticas de una variable. El método de colocación se utiliza ampliamente en el aprendizaje de otros conocimientos matemáticos y son los tres métodos matemáticos importantes que se deben dominar en las escuelas secundarias.

Se debe dominar uno de los métodos. Hay tres métodos matemáticos importantes: método de sustitución, método de punto coincidente y método de coeficiente indeterminado.

Ejemplo 5. Utilice métodos apropiados para resolver las siguientes ecuaciones. (Investigación opcional)

(1)4(x 2)2-9(x-3)2 = 0(2)x2 (2-)x -3 = 0

(3)x2-2x =-(4)4x 2-4mx-10x m2 5m 6 = 0

Análisis: (1) Primero, observe si la pregunta tiene características y no haga primero la multiplicación a ciegas. . Después de la observación, encontramos que la diferencia de cuadrados se puede usar en el lado izquierdo de la ecuación.

Esta fórmula factoriza el factor en el producto de dos factores lineales.

(2) El factor izquierdo de la ecuación se puede descomponer mediante multiplicación cruzada.

(3) Después de convertirlo a una forma general, use el método de fórmula para resolverlo.

(4) Cambie la ecuación a 4x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0 y luego factorícela mediante multiplicación cruzada.

(1) Solución: 4(x 2)2-9(x-3)2=0.

[2(x 2) 3(x-3)][2(x 2)-3(x-3)]= 0

(5x-5)(- x 13)=0

5x-5=0 o -x 13=0.

∴x1=1, x2=13

(2) Solución: x2 (2- )x -3=0.

[x-(-3)](x-1)=0

X-(-3)=0 o x-1=0.

∴x1=-3, x2=1

(3) Solución: x2-2 x=-

X2-2 x =0 (primera conversión en forma general)

△=(-2)2-4×= 12-8 = 4 gt

∴x=

∴x1; = , x2=

(4) Solución: 4x2-4mx-10x m2 5m 6=0.

4x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0

[2x-(m 2)][2x-(m 3)]=0

2x-(m 2)=0 o 2x-(m 3)=0.

∴x1=, x2=

Ejemplo 6. Encuentra las dos raíces de la ecuación 3(x 1)2 5(x 1)(x-4) 2(x-4)2 = 0. (Investigación opcional)

Análisis: si esta ecuación se multiplica primero y luego se multiplica, los términos similares se combinan en una forma común, que será más complicada. Observa atentamente la pregunta, lo haré

Los científicos han descubierto que si x 1 y x-4 se consideran como un todo, pueden usar la factorización cruzada en el lado izquierdo de la ecuación (en realidad, usando la método de sustitución )

Ley)

Solución: [3(x 1) 2(x-4)][(x 1)(x-4)]= 0.

Es decir (5x-5)(2x-3)=0.

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x- 1=0 o 2x-3=0

∴ x1 = 1, x2 = es la solución de la ecuación original.

Ejemplo 7. Utilice el método de colocación para resolver la ecuación cuadrática x2 px q=0.

Solución: x2 px q=0 se puede convertir en

X2 px=-q (el término constante se mueve al lado derecho de la ecuación)

X2 px ( ) 2=-q ()2 (suma la mitad del cuadrado del primer coeficiente a ambos lados de la ecuación).

(x )2=(fórmula)

Cuando p2-4q≥0, ≥0 (p2-4q debe clasificarse y discutirse)

∴x = - =

∴x1=, x2=

Cuando p2-4q

Nota: esta pregunta es una ecuación de coeficiente de letras y no hay condiciones adicionales para P y Q en la pregunta, así que siempre preste atención a las letras durante el proceso de resolución del problema.

Los requisitos para la selección de valores se discutirán en categorías cuando sea necesario.

Ejercicio:

(1) Utilice métodos adecuados para resolver las siguientes ecuaciones:

1,6 x2-x-2 = 0 ^ 2. (x 5)(x-5)=3

3.x2-x = 0 ^ 4. x2-4x 4=0

5.3x2 1=2x 6. (2x 3)2 5(2x 3)-6=0

(2) Resuelve las siguientes ecuaciones sobre x.

1.x2-ax-B2 = 0^2.

x2-( )ax a2=0

Respuestas del ejercicio de referencia:

(1) 1.x1 =-, x2 = 2.x1 = 2, x2 =-2.

3.x1=0, x2 = 4. x 1 = x2 = 2 5. x 1 = x2 =

6. Factores en el lado izquierdo de la ecuación)

[(2x 3) 6][(2x 3)-1]=0

Es decir, (2x 9)(2x 2 )=0.

* 2x 9 = 0 o 2x 2=0

∴x1=-, x2=-1 es la solución de la ecuación original.

(2) 1. Solución: x2-( ) ax ( b)( -b)=0 2. Solución: x2-( ) ax a a = 0.

[x-( b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( b)=0 o x-( -b) =0 x- a=0 o x- a=0.

∴x1= b, x2= -b es ∴x1= a, x2=a es.

Solución a la ecuación original. solución de la ecuación original.

Experimento

Elección múltiple

1 La raíz de la ecuación x(x-5)=5(x-5) es ().

a, x=5 B, x=-5 C, x1=x2=5 D, x1=x2=-5

2. es igual a 11, por lo que el valor de a es ().

a, 3 o 7 B, -3 o 7 C, 3 o -7 D, -3 o -7

3. La suma de los coeficientes cuadráticos, los coeficientes lineales y los términos constantes es igual a cero, entonces debe haber una ecuación.

La raíz es ().

a, 0 B, 1 C, -1 D, 1

4. La raíz de la ecuación cuadrática ax2 bx c=0 es cero, si ().

a, b≠0 y c=0 B, b=0 y c≠0.

c y b=0 y c=0 D y c=0.

5. Las dos raíces de la ecuación x2-3x=10 son ().

a, -2,5 B, 2, -5 C, 2,5 D, 2

6. La solución de la ecuación x2-3x 3=0 es () .

a, b, c, d no tienen raíces reales

7 La solución de la ecuación 2x2-0.15=0 es ().

a, x= B, x=-

c, x1=0.27, x2=-0.27

8. . Después de que los lados izquierdos coincidan de manera completamente plana, la ecuación resultante es ().

a, (x-)2= B, (x-)2=-

c, (x-)2= D, ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

9. Se sabe que la ecuación cuadrática de una variable x2-2x-m=0, y la ecuación después de resolver la fórmula de esta ecuación usando el método de coincidencia es ().

a , ( x-1)2=m2 1 B , ( x-1)2=m-1 C , ( x-1)2=1-m D , ( x-1)2 =m 1

Respuesta y análisis

Respuesta: 1 .

Análisis:

1. Análisis: (x-5)2=0, luego x1=x2=5,

Nota: No utilices el álgebra fácilmente. Además de la expresión a ambos lados de la ecuación, la otra ecuación cuadrática tiene raíces reales, que deben ser dos.

2. Análisis: Según el significado de la pregunta: a2 4a-10=11, la solución es a=3 o a=-7.

3. Análisis: Según el significado de la pregunta: Si a b c=0, entonces el lado izquierdo de la ecuación es a b c, solo x=1, ax2 bx c=a b c, es decir, cuando x=1,

Cuando se establece la ecuación, debe haber una raíz de x=1.

4. Análisis: Si una raíz de la ecuación cuadrática ax2 bx c=0 es cero,

entonces ax2 bx c debe tener un factor X. Si solo c=0, entonces Hay un factor común X, entonces c=0.

Además, también puedes sustituir x=0 para obtener c=0, ¡lo cual es relativamente simple!

5. Análisis: La ecuación original se convierte en x2-3x-10=0,

Entonces (x-5)(x 2)=0.

X-5=0 o x 2=0.

x1=5, x2=-2.

6. Análisis: δ = 9-4× 3 =-3

7. >x=

Prestar atención a la simplificación de las raíces y no perder las raíces al cuadrar directamente.

8. Análisis: Multiplica ambos lados por 3: x2-3x-12=0, y luego según la fórmula del coeficiente lineal, x2-3x (-)2=12 (- )2,

p>

El orden es: (x-)2=

La ecuación se puede transformar usando la propiedad de igualdad. Cuando se formula x2-bx, el término de la fórmula es el cuadrado de la mitad del coeficiente. del primer término-b.

9. Análisis: x2-2x=m, luego x2-2x 1=m 1.

Entonces (x-1)2=m 1.

Análisis del examen de ingreso a la escuela secundaria

Comentarios sobre las preguntas del examen

1 (Provincia de Gansu) La raíz de la ecuación es ()

(A) (B) (C) o (d) o

Comentario: Dado que la ecuación cuadrática tiene dos raíces, usamos el método de eliminación para excluir las opciones A y B, y luego usamos el método de verificación. para seleccionar la opción correcta C. y d.

Opciones. Esta ecuación también se puede resolver mediante factorización y los resultados se pueden comparar con las opciones. Las opciones A y B sólo consideran un lote y olvídate de un dólar.

La ecuación cuadrática tiene dos raíces, por lo que es incorrecta, y x =-1 en la opción D no puede igualar los lados izquierdo y derecho de la ecuación, por lo que también es incorrecta. La opción correcta es

C.

Además, los estudiantes suelen utilizar una expresión algebraica para dividir ambos lados de la ecuación simultáneamente, lo que hace que la ecuación pierda sus raíces. Este error debe evitarse.

2. (Provincia de Jilin) ​​La raíz de la ecuación cuadrática es _ _ _ _ _ _ _ _.

Comentario: La idea se puede resolver mediante el método de factorización o fórmula según las características de la ecuación.

3. (Provincia de Liaoning) La raíz de la ecuación es ()

0(B)–1(C)0, –1(D)0, 1

Comentarios: Idea: Dado que la ecuación es una ecuación cuadrática con dos raíces reales, la opción correcta se puede seleccionar mediante verificación de eliminación, mientras que,

las dos opciones tienen una sola raíz. La opción número d A no es una raíz de la ecuación. Además, también puedes utilizar el método de encontrar directamente las raíces de la ecuación.

4. (Provincia de Henan) Se sabe que una raíz de la ecuación cuadrática de X es –2, por lo que k = _ _ _ _ _ _ _ _.

Comentarios: k=4. Sustituyendo x=-2 en la ecuación original, construye una ecuación cuadrática sobre k y luego resuélvela.

5. (Xi'an) Usa el método de raíz cuadrada directa para resolver la ecuación (x-3)2=8.

(A)x=3 2 (B)x=3-2

x1=3 2, x2=3-2

Comentarios: Puedes Resolver directamente ecuaciones sin cálculo. Si hay una solución usando una ecuación cuadrática, debe haber dos soluciones y 8 al cuadrado.

Root, puedes elegir la respuesta.

Desarrollo extracurricular

Ecuación cuadrática de una variable

La ecuación cuadrática significa que hay un número desconocido y el término más alto del número desconocido es 2.

Ecuación integral de grados.

La forma general es

ax2 bx c=0, (a≠0)

Alrededor del año 2000 a.C., apareció una ecuación cuadrática y su solución en las antiguas tablillas de arcilla babilónicas: Encontrar Un número hace eso y eso.

La suma de los recíprocos es igual a un número dado, es decir, encontrar la suma de x tal que

x=1, x =b,

x2-bx 1=0,

Hicieron que ()2; lo hicieran nuevamente y obtuvieron la solución: y -. Se puede ver que los babilonios ya sabían que un dólar es el doble.

La fórmula raíz de la ecuación. Pero en ese momento no aceptaron números negativos, por lo que omitieron las raíces negativas.

Los documentos en papiro egipcio también involucran la ecuación cuadrática más simple, por ejemplo: AX2 = B.

En los siglos IV y V a.C., China dominaba la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.

El griego Diofanto (246-330) sólo tomó las raíces positivas de una ecuación cuadrática. Aunque ambas fueran raíces positivas, sólo tomó una de ellas.

Uno.

En el año 628 d.C., una raíz de la ecuación cuadrática x2 px q=0 se derivó del sistema revisado de Brahmaputra escrito en la India.

Tipo.

El árabe al-Walazimi analizó la solución de ecuaciones en "Álgebra" y resolvió el primer y segundo tipo de ecuaciones, involucrando un total de seis tipos.

En diferentes formas, sean A, B, C números positivos, como ax2=bx, ax2=c, ax2 c=bx, ax2 bx=c, ax2=bx c, etc. La discusión sobre la división de ecuaciones cuadráticas en diferentes formas se basa en la práctica de Diophantine. Además de dar varias soluciones especiales a ecuaciones cuadráticas, Al-Hualazimi también fue el primero en hacerlo.

Se da la solución general de la ecuación cuadrática, y se admite que la ecuación tiene dos raíces y raíces irracionales, pero no se comprenden las raíces imaginarias. Los italianos en el siglo XVI

Los matemáticos comenzaron a utilizar raíces complejas para comprender las ecuaciones cúbicas.

David (1540-1603) no sólo sabía que las ecuaciones de una variable siempre tienen soluciones en el rango de números complejos, sino que también dio la relación entre raíces y coeficientes.

Pregunta 20 del método aritmético pitagórico del capítulo 9 chino, encontrar la raíz positiva es equivalente a x2 34x-71000=0. Matemáticas chinas

Los economistas también utilizan la interpolación en el estudio de ecuaciones.