Hace 150 años, Mobius descubrió un extraño objeto unilateral. Por eso son tan geniales.

Tira de Mobius (?co *** a/Shutterstock)

Probablemente te hayas encontrado en tu vida diaria con cientos de objetos unilaterales, como los impresos en aluminio. Símbolo universal para reciclaje en la parte posterior de latas y botellas de plástico.

Este objeto matemático se llama cinta de Möbius. Ha fascinado a ambientalistas, artistas, ingenieros, matemáticos y muchos otros desde la muerte del matemático alemán August Möbius en 1858, el 26 de septiembre de 1868. La Leipzig unilateral fue descubierta en 1858, cuando Möbius era presidente del Departamento de Astronomía y Mecánica Avanzada de la Universidad Nacional. (Otro matemático llamado Listing sí lo describió unos meses antes, pero no publicó sus resultados hasta 1861.) Mientras trabajaba en la teoría geométrica de los poliedros, Möbius parecía haber encontrado la franja de Möbius, un poliedro es una figura tridimensional compuesta de vértices, aristas y planos.

Se puede hacer una cinta de Moebius tomando un trozo de cinta de papel, dándole un número impar de medias vueltas y luego pegando los dos extremos para formar un bucle. Si tomas un lápiz y dibujas una línea en el centro de la tira, verás que la línea obviamente va a lo largo de ambos lados del bucle.

Fue el concepto de un objeto unilateral lo que inspiró a artistas como el diseñador gráfico holandés M.C. Escher, cuyo grabado en madera Möbius Strip II muestra hormigas rojas caminando a lo largo de una tira de Möbius tras otra.

Möbius Zone tiene más de una cualidad sorprendente. Por ejemplo, intenta tomar un par de tijeras y cortar la correa por la mitad a lo largo de la línea que acabas de dibujar. Quizás te sorprenda descubrir que en lugar de dos tiras de Moebius más pequeñas de una sola cara, te queda un bucle largo de doble cara. Si no tiene una hoja de papel a mano, el grabado en madera de Escher "Möbius Strip I" muestra lo que sucede cuando se corta una tira de Möbius a lo largo de su línea central.

Si bien la banda tenía atractivo visual, su mayor impacto se produjo en las matemáticas, donde ayudó a avanzar en todo un campo llamado topología.

La topología estudia las propiedades que mantiene un objeto cuando se mueve, se dobla, se estira o se retuerce sin cortar ni pegar partes. Por ejemplo, un par de auriculares enredados es topológicamente lo mismo que un par desenredado, ya que convertir un par en el otro simplemente requiere moverse, doblarse y girarse. No es necesario cortar ni pegar entre ellos.

Otro par de objetos topológicamente idénticos es una taza de café y un donut. Debido a que ambos objetos tienen un solo agujero, uno puede deformarse en el otro estirándolo y doblándolo. La taza se transforma en un donut. (Wikimedia Commons)

El número de agujeros en un objeto es una propiedad que sólo se puede cambiar cortando o pegando. Esta propiedad se denomina "género" del objeto y nos permite decir que un par de auriculares y un donut son topológicamente diferentes porque el donut tiene un solo agujero, mientras que un par de auriculares no tiene agujero.

Desafortunadamente, una tira de Móbius y un anillo reversible, como una típica pulsera sensora de silicona, parecen tener un agujero, por lo que esta propiedad no es suficiente para distinguirlos, al menos desde el punto de vista de un topólogo. Desde mi punto de vista, este es el caso.

En cambio, la propiedad que distingue las tiras de Móbius de los anillos de doble cara se llama direccionalidad. Al igual que su número de agujeros, la direccionalidad de un objeto sólo se puede cambiar cortándolo o pegándolo.

Imagina que escribes una nota sobre una superficie transparente y luego caminas sobre la superficie. La superficie es orientable si siempre puedes leer la nota cuando regresas del paseo. En una superficie no orientable, es posible que al regresar de un paseo descubra que las palabras que escribió aparentemente se han convertido en imágenes reflejadas y sólo pueden leerse de derecha a izquierda. En un bucle de doble cara, las notas se leen de izquierda a derecha donde quiera que vaya.

, porque las barras de Móbius no son orientables y los anillos e-biédricos sí lo son, lo que significa que las barras de Móbius y los anillos biédricos son topológicamente diferentes. Cuando comienza el GIF, los puntos enumerados en el sentido de las agujas del reloj son negros, azules y rojos. Sin embargo, podemos mover la configuración de los tres puntos alrededor de la tira de Möbius para que el gráfico esté en la misma posición, pero los colores de los puntos enumerados en el sentido de las agujas del reloj ahora son rojo, azul y negro. De alguna manera la estructura se ha transformado en una imagen especular de sí misma, pero lo único que hemos hecho es moverla sobre la superficie. En una superficie orientable como un anillo de doble cara, esta transformación no es posible. (Creado por David Gunderman)

El concepto de orientabilidad es significativo. Tomemos como ejemplo los enantiómeros. Estos compuestos tienen la misma estructura química, excepto por una diferencia clave: son imágenes especulares entre sí. Por ejemplo, la sustancia química L-metanfetamina es un ingrediente de los inhaladores de vapor de Vic. Su reflejo, la D-metanfetamina, es una droga ilegal de Clase A. Si viviéramos en un mundo no orientable, estas sustancias químicas serían indistinguibles.

Los descubrimientos de August Möbius abrieron nuevas formas de estudiar el mundo natural. El estudio de la topología continúa produciendo resultados sorprendentes. El año pasado, por ejemplo, la topología permitió a los científicos descubrir nuevos y extraños estados de la materia. La Medalla Fields de este año, el máximo honor de las matemáticas, fue otorgada al matemático Akshay Venkatesh, estudiante de doctorado en matemáticas aplicadas en la Universidad de Colorado, quien ayudó a combinar la topología con otros campos como la teoría de números y Richard Gunderman, profesor del Canciller de Matemáticas. Medicina y Filantropía de Artes Liberales, Universidad de Indiana

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