¿Alguien puede proporcionarme algunos incidentes de crisis matemáticas?

Pitágoras fue un famoso matemático y filósofo de la antigua Grecia en el siglo V a.C. Una vez fundó una secta mística que combinaba política, academia y religión: los pitagóricos. La famosa proposición "Todo es número" propuesta por Pitágoras es la piedra angular filosófica de esta escuela. "Todos los números pueden expresarse como números enteros o como proporciones de números enteros" es la creencia matemática de esta escuela de pensamiento. Sin embargo, lo dramático es que el teorema de Pitágoras establecido por Pitágoras se ha convertido en el "sepulturero" de las creencias matemáticas de los pitagóricos. Después de que se propuso el teorema de Pitágoras, Hipaso, miembro de su escuela de pensamiento, consideró una pregunta: ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un cuadrado con lado 1? Descubrió que esta longitud no podía representarse mediante un número entero o una fracción, sino que solo podía representarse mediante un nuevo número. El descubrimiento de Hippasos condujo al nacimiento del primer número irracional √2 en la historia de las matemáticas. La aparición del pequeño √2 provocó una gran tormenta en el mundo de las matemáticas en aquel momento. Sacudió directamente la creencia matemática de los pitagóricos y les causó un gran pánico. De hecho, este gran descubrimiento no fue sólo un golpe fatal para los pitagóricos. Esto tuvo un gran impacto en las ideas de todos los antiguos griegos de aquella época. La paradoja de esta conclusión se manifiesta en su conflicto con el sentido común: cualquier cantidad puede expresarse como un número racional dentro de cualquier rango de precisión. Esta afirmación no sólo era generalmente aceptada en Grecia en aquella época, sino que incluso hoy en día, cuando la tecnología de medición está muy desarrollada, ¡esta afirmación es correcta sin excepción! Sin embargo, la conclusión convincente de nuestra experiencia y completamente coherente con el sentido común ha sido anulada por la existencia de un pequeño √2. ¡Qué contraintuitivo y ridículo debería ser esto! Simplemente anula todo lo que sabíamos antes. Lo peor es que no hay nada que la gente pueda hacer ante este absurdo. Esto condujo directamente a una crisis en la comprensión de la gente en ese momento, lo que provocó una gran agitación en la historia de las matemáticas occidentales, conocida en la historia como la "Primera Crisis Matemática".

La segunda crisis de las matemáticas se debió al uso de herramientas de cálculo. A medida que mejoró la comprensión de la teoría y la práctica científicas, casi al mismo tiempo, en el siglo XVII, Newton y Leibniz descubrieron de forma independiente el cálculo, una herramienta matemática extremadamente avanzada. Tan pronto como salió esta herramienta, mostró su extraordinario poder. Muchos problemas difíciles se han convertido en pan comido después de utilizar esta herramienta. Pero ni Newton ni Leibniz crearon estrictamente la teoría del cálculo. Ambas teorías se basan en el análisis infinitesimal, pero su comprensión y aplicación de cantidades infinitesimales como concepto básico son confusas. Por lo tanto, algunas personas se han opuesto y atacado al cálculo desde su nacimiento. Entre ellos, el ataque más violento fue el del arzobispo británico Berkeley.

La paradoja de Russell y la tercera crisis matemática

En la segunda mitad del siglo XIX, Cantor fundó la famosa teoría de conjuntos. Un ataque violento por parte de muchos. Pero pronto este resultado pionero fue aceptado por la mayoría de los matemáticos y recibió grandes elogios y generalidades. Los matemáticos han descubierto que todo el edificio matemático se puede construir a partir de los números naturales y la teoría de conjuntos de Cantor. La teoría de conjuntos se convirtió así en la piedra angular de las matemáticas modernas. Los matemáticos están embriagados por el descubrimiento de que "todos los resultados matemáticos pueden basarse en la teoría de conjuntos". En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos, el famoso matemático francés Poincaré declaró alegremente: "...Con la ayuda de los conceptos de la teoría de conjuntos, podemos construir todo el edificio matemático... Hoy podemos decir que el rigor absoluto ha sido conseguido ahora..."

Cantor

Sin embargo, los buenos tiempos no duraron mucho. En 1903, salió a la luz una noticia que conmocionó a la comunidad matemática: ¡la teoría de conjuntos era errónea! Ésta es la famosa Paradoja de Russell propuesta por el matemático británico Russell.

Russell construyó un conjunto S: S está formado por todos los conjuntos que no son elementos propios. Entonces Russell preguntó: ¿S pertenece a S? Según la ley del tercero excluido, un elemento pertenece a un conjunto determinado o no pertenece a un conjunto determinado. Por tanto, para un conjunto dado, tiene sentido preguntarse si se pertenece a sí mismo. Pero la respuesta a esta pregunta aparentemente razonable presenta un dilema.

Si S pertenece a S, según la definición de S, S no pertenece a S; a la inversa, si S no pertenece a S, según la misma definición, S pertenece a S. Es una contradicción de todos modos.

Russell

De hecho, las paradojas se han descubierto en la teoría de conjuntos antes de Russell. Por ejemplo, en 1897, Braley y Forty propusieron la paradoja ordinal máxima. En 1899, el propio Cantor descubrió la paradoja de la cardinalidad máxima. Sin embargo, debido a que estas dos paradojas involucran muchas teorías complejas en el conjunto, solo causaron una pequeña repercusión en la comunidad matemática y no lograron atraer mayor atención. La paradoja de Russell es diferente. Es muy sencillo y cubre sólo los aspectos más básicos de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, la paradoja de Russell causó una gran conmoción en los círculos matemáticos y lógicos de la época tan pronto como fue propuesta. Por ejemplo, G. Frege dijo con tristeza después de recibir la carta de Russell presentando esta paradoja: "Lo más insatisfactorio que le sucede a un científico es que cuando su trabajo está llegando a su fin, sus cimientos se derrumban. Una carta del Sr. Russell me puso en esta posición." Dedekind también pospuso la reedición de su artículo "¿Cuál es la naturaleza y función de los números?". Se puede decir que esta paradoja es como dejar caer una roca en las tranquilas aguas de las matemáticas, y las enormes repercusiones que provocó llevaron a la tercera crisis matemática.

Después de la crisis, los matemáticos han ideado sus propias soluciones. La gente espera poder eliminar las paradojas reformando la teoría de conjuntos de Cantor y restringiendo la definición de conjuntos, lo que requiere el establecimiento de nuevos principios. "Estos principios deben ser lo suficientemente estrechos para garantizar que se eliminen todas las contradicciones; por otro lado, deben ser lo suficientemente amplios para preservar todo el contenido valioso de la teoría de conjuntos de Cantor, basándose en sus propios principios, Zermelo afirmó en 1908 el primero". Se propuso un sistema de teoría de conjuntos axiomático, que luego fue mejorado por otros matemáticos y se denominó sistema ZF. Este sistema de conjuntos axiomático compensa en gran medida las deficiencias de la ingenua teoría de conjuntos de Cantor. Además del sistema ZF, existen muchos sistemas axiomáticos de teoría de conjuntos, como el sistema NBG propuesto por Neumann et al. El establecimiento del sistema axiomático de conjuntos eliminó con éxito las paradojas que aparecían en la teoría de conjuntos, resolviendo así de forma más satisfactoria el tercer grado